OLGU / TATSACHE / FACT; DURUM / FALL / CASE; İŞLERİN DURUMU / SACHVERHALT / ATOMIC FACSTS]

1 Dünya durum olan herşeydir. 1.1 Dünya olguların toplamıdır, şeylerin değil. 1.11 Dünya olgular tarafından, ve bunların tüm olgular olması tarafından belirlenir. 1.12 Çünkü olguların toplamı durum olanı ve ayrıca durum olmayan herşeyi belirler. 1.13 Mantıksal uzaydaki olgular dünyadır. 1.2 Dünya olgulara bölünür. 1.21 Biri durum olabilir ya da durum olmayabilir ve tüm gerisi aynı kalabilir. 2 Durum olan, olgu olan, şeylerin durumunun sürmesidir. 2.01 İşlerin durumu nesnelerin (olgular, şeyler) bir bileşimidir. 2.012 Mantıkta hiçbirşey olumsal değildir: Şey işlerin-durumunda bulunabilirse, işlerin-durumunun olanağı şeyde önceden yargılanmış olmalıdır. 2.02 Nesne yalındır. 2.0232 Kabaca konuşursak, nesneler renksizdir. 2.024 Töz durum olandan bağımsız olarak kalıcı olandır. 2.025 Töz biçim ve içeriktir. 2.027 Değişmez olan, kalıcı olan ve nesne birdir. 2.0271 Nesne değişmez olan, kalıcı olandır; betilenim değişen, kalıcı olmayandır. 2.034 Olgunun yapısı işlerin durumlarının yapılarından oluşur. 2.1 Olguların imgelerini oluşturuz. 2.12 İmge edimselliğin bir modelidir. 2.141 İmge bir olgudur. [2 SÜRÜYOR.]	1 Die Welt ist alles, was der Fall ist. 1.1 Die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge. 1.11 Die Welt ist durch die Tatsachen bestimmt und dadurch, das es alle Tatsachen sind. 1.12 Denn, die Gesamtheit der Tatsachen bestimmt, was der Fall ist und auch, was alles nicht der Fall ist. 1.13 Die Tatsachen im logisches Raum sind die Welt. 1.2 Die Welt zerfällt in Tatsachen. 1.21 Eines kann der Fall sein oder nicht der Fall sein und alles übrige gleich bleiben. 2 Was der Fall ist, die Tatsache ist, das Bestehen von Sachverhalten. 2.01 Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen (Sachen, Dingen). 2.012 In der Logik ist nichts zufällig: Wenn das Ding im Sachverhalt vorkommen kann, so muß die Möglichkeit des Sachverhaltes im Ding bereits präjudiziert sein. 2.02 Der Gegenstand ist einfach. 2.0232 Beiläufig gesprochen: Die Gegenstände sind farblos. 2.024 Die Substanz ist das, was unabhängig von dem was der Fall ist, bestehen. 2.025 Sie ist Form und Inhalt. 2.027 Das Feste, das Bestehende und der Gegenstand sind Eins. 2.0271 Der Gegenstand is das Feste, Bestehende; die Konfiguration ist das Wechselnde, Unbeständige. 2.034 Die Struktur der Tatsache besteht aus den Strukturen der Sachverhalte. 2.1 Wir machen uns Bilder der Tatsachen. 2.12 Das Bild ist ein Modell der Wirklichkeit. 2.141 Das Bild ist eine Tatsache.	1 The world is everything that is the case. 1.1 The world is the totality of facts, not of things. 1.11 The world is determined by the facts, and by these being all the facts. 1.12 For the totality of facts determines both what is the case, and also all that is not the case. 1.13 The facts in logical space are the world. 1. 2 The world divides into facts. 1.21 Any one can either be the case or not be the case, and everything else remain the same. 2 What is the case, the fact, is the existence of atomic facts. 2.01 An atomic fact is a combination of objects (entities, things) 2.012 In logic nothing is accidental: if a thing can occur in an atomic fact the possibility of that atomic fact must already be prejudged in the thing. 2.02 The object is simple. 2.0232 Roughly speaking: objects are colourless. 2.024 Substance is what exists independently of what is the case. 2.025 It is form and content. 2.027 The fixed, the existent and the object are one. 2.0271 The object is the fixed, the existent; the configuration is the changing, the variable. 2.034 The structure of the fact consists of the structures of the atomic facts. 2.1 We make to ourselves pictures of facts. 2.12 The picture is a model of reality. 2.141 The picture is a fact.
Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus Mantıksal-Felsefi İnceleme §§ 1-2, Çeviri: Aziz Yardımlı

Kant: Kavram Ve Anlam Üzerine (Arı Usun Eleştirisi’nden) Nesne Anlamını Duyusal/Görgül Sezgiden Mi Alır? ‘‘B 149] ... Ama kavramların bizim duyusal sezgimizin ötesine bu genişlemesinin hiçbir yararı yoktur. Çünkü o zaman nesnelerin boş kavramlarıdırlar ki, onlarla bu nesnelerin olanaklı olup olmadığını bile yargılayamayız. Yalnızca düşünce biçimleridirler ki hiçbir nesnel olgusallıkları yoktur, çünkü elimizde üzerinde bu biçimlerin biricik kapsamlarını oluşturan tamalgının bireşimli birliğinin uygulanabileceği ve böylece bir nesneyi belirleyebilecek hiçbir sezgi yoktur. [B 149] Ancak bizim duyusal ve görgül sezgimiz onlara anlam ve imlem verebilir.’’ Kavram Anlamını Nesneden Mi Kazanır (1)? [B 178] ... Çünkü görmüştük ki kavramlar, eğer kendileri için ya da en azından onları oluşturan öğeler için hiçbir nesne verilemiyorsa, bütünüyle olanaksızdırlar, ne de herhangi bir anlam taşıyabilirler; ve böylece kendilerinde şeyler ile (bunların bize verilip verilemediklerine ya da nasıl verilebildiklerine bakılmaksızın) ilgili değildirler. Dahası, bize nesnelerin biricik veriliş yolunun duyarlığımızdaki değişkiden geçtiğini de görmüştük; son olarak, arı a priori kavramların, anlağın kategorideki işlevinin dışında, ... Kavram Anlamını Nesneden Mi Kazanır (2)? ‘‘[B 298] Her kavram için ilkin genel olarak bir kavramın (düşüncenin) mantıksal biçimini, ikinci olarak ise ona kendisi ile ilişkili olacağı bir nesnenin verilmesi olanağını isteriz. Böyle bir nesne olmaksızın kavramın hiçbir anlamı yoktur ve içerikte bütünüyle boştur, üstelik herhangi bir veriden bir kavram oluşturma gibi bir mantıksal işlevi kapsayabilse bile. Şimdi bir kavrama bir nesne sezgide olmaktan başka türlü verilemez; ve, gerçi bir arı sezgi nesneden önce a priori olanaklı olsa da, bu sezgi bile nesnesini ve dolayısıyla nesnel geçerliğini ancak salt biçimi olduğu görgül sezgi yoluyla kazanabilir. Öyleyse tüm kavramlar ve onlarla birlikte tüm ilkeler, ne denli a priori olanaklı olurlarsa olsunlar, gene de görgül sezgiler ile, e.d. olanaklı deneyim için veriler ile ilişkilidir. Bu ilişki olmaksızın hiçbir nesnel geçerlikleri yoktur, tersine tasarımları açısından yalnızca imgelem yetisinin ya da anlağın birer oyunudurlar. Matematik kavramlarını örnek alarak [B 299] bunları ilkin arı sezgileri içinde irdeleyelim. Uzayın üç boyutu vardır, iki nokta arasında ancak bir doğru çizgi olabilir, vb. Gerçi tüm bu ilkeler ve bu bilimin ele aldığı nesnelerin tasarımları anda bütünüyle a priori [A 240] üretilebilse de, eğer anlamlarını her zaman görüngülerde (görgül nesnelerde) gösteremiyor olsaydık, hiçbir anlamları olmazdı. Buna göre yalıtılmış bir kavramın duyusal [sinn-lich] kılınmasını, e.d. ona karşılık düşen nesnenin sezgide sunulmasını isteriz, çünkü bu olmaksızın kavram, söylendiği gibi, anlamsız [ohne Sinn] olacak, hiçbirşey anlatmayacaktır. Matematik bu gereksinimi a priori ortaya çıkarılmasına karşın duyular için bulunan bir görüngü olarak şeklin çizimi yoluyla karşılar. Büyüklük kavramı bu aynı bilimde destek ve anlamını sayıda arar, sayı ise parmaklarda, abaküsün toplarında, ya da göz önüne getirilen çizgi ve noktalarda. Kavram her zaman a priori üretilir, ve böyle kavramlardan türetilen sentetik ilkeler ya da formüllerde. Ama bunların kullanımları ve öne sürülen nesneler ile ilişkileri sonunda olanağını (biçime göre) a priori kapsadıkları deneyimden başka bir yerde aranmayacaktır.’’

Us bütününde mantıksal olandır, yalnızca biçimsel Tasım öğretilerinde değil. Tasım genel olarak Yargı bağıntıları iken, Yargının kendisi Kavramın bir işlevidir.

Sözde "analitik felsefecilik" Usun bütün dizgesinden yalnızca ve kavramsız olarak Yargı ve Tasım bölümlerini çeker, onlarla "önermeler kalkülüsü," "simgesel mantık," "modern mantık" vb. gibi kendileri mantıksız adlandırmalar altında ve el yordamı ile sözde bir "ideal dil" yaratmaya girişir, ve usun geri kalan parçasını metafizik olarak yadsır — bu alanın kategorilerini sözde simgesel dilini yaratmak için kullandığının bilincinde olmaksızın.

Us, arı Us ya da kurgul Us denilen Us bir deneyim nesnesi değildir. Sıradan bilincin pozitivizminin yanlışlıkla "metafiziksel" dediği şeydir. Deneyim üstü ya da ötesidir. Ama gene de deneyimi olanaklı kılan nesnelliktir çünkü Doğanın ve Tinin belirlenimleri ussal belirlenimlerdir. Doğa ve Tin alanlarını önceleyen Us fiziksel değildir, ama fizik-ötesi de değildir.

Us kavram ve olgusallığın birliğidir. Bu kurgul ya da kavramsal birlik özne ve dış dünya arasındaki görgücü düalizmi geçersiz kılar. Özne bendir, ve soyut ben tüm başkalığı dışlayan saltık noktasallığı içinde o denli de her evrenseli üstlenebilen kavram, kendisi evrensellerden başka birşey olmayan ve onlardan oluşan evrenselidir. Ben her evrenseli üstlenme belirlenimidir. Özsel olan nokta öznenin, benin nesnelliği de kendi içinde kapsaması, onunla birliğidir. Nesnenin içeriği öznenin içeriğidir.

Us bu nesnel anlamda alındığında, ne doğal ne de tinseldir. Eğer varlığı doğal ve tinsel olana eşitlemezsek, Logosun varlığından söz etmek onu doğal ya da tinsel yapmaz. Logosun varlığına mantıksal varlık diyebiliriz, ya da Hegel'in yaptığı gibi, nesnel kavramların Denkbestimmungen, düşünce-belirlenimleri olduğunu söyleyebiliriz. Felsefe tarihinde salt ussal ya da düşünsel olanın varlığını doğrulama yeteneğini gösterenler arasında giderek Frege, Gödel gibi pozitivist çevre ile hiç olmazsa teğet ilişkiler içinde olduğunu kabul edebileceğimiz adlar vardır.

Tepe

Özne böyle olarak nesne ile karşıtlık içinde durur ve bu karşıtlığın saltık karakteri nedeniyle onunla birdir: Her ikisi de belirlenimini karşıtında taşır. Nesnel şeyler, olgular, fenomenler, deneyimler, tümü de ben olan, benim tarafımdan, evrensel kavramlarım tarafından belirlenen şeylerdir. Eğer onlarda benin evrenselinden kaçan birşey varsa, bu bilinemez kendinde-Şeyin ne olduğu değil, olduğu bile söylenemez. Ama kendinde-Şey bilinir çünkü vardır, şeydir, kendindedir. Kendinde-Şeyin yalnızca "Şey" ile sınırlı olmadığı, kendinde-Herşey olduğu bu terimi felsefesine saltık yapan Kant tarafından bile kabul edilir: Kendinde-Varlık, kendinde-İnsan, kendinde-Yasa, kendinde-Herşey. Tümü de bu tikel "Şeylerin" soyut kavramından başka birşeyi anlatmaz.

Kant'ın sözde aşkınsal felsefesi özneyi (öznel Us) kendi içine kapar. Bütün bir Varlık alanını, Logos, Doğa ve Tin alanlarını bilinçten yalıtır. Bilincin kendisini, dolayısıyla bilmenin tüm içeriğini yalnızca görüngülere sınırlar.

Değişimsiz olduğu söylenen şey doğal ya da tinsel olan değil ama mantıksal olandır. Doğa ve Tin alanları sürekli oluş alanlarıdır.

Tepe

Görgücülüğe göre Doğanın "varlığı" kuşkuludur. Dış dünyanın varoluşunun tanıtlaması görgücülüğün entellektüel sığasının ötesindedir.

Doğa sözcüğü Yunanca, Latince ve Türkçe kökenlerinde birdir. Doğa doğar, böylece sonlu, ama sürekli oluş, sürekli kendini-yaratış olarak, süreç olarak sonsuzdur. Doğa Varlığın açınımını Yaşam İdeasına dek, Tin ile değme noktasına dek sergiler. Tinsel olan doğal olanın ötesi, eğer 'metafizik' sözcüğü kullanılacaksa, sözcüğün gerçek anlamında metafiziksel olandır. Ama genellikle bir kavramı neyin ötesi olduğunu belirterek anlatma gereksinimini duymayız.

Tepe

Doğa belirlenimsiz ya da biçimsiz değildir. Özsel olarak kavramsaldır: Uzay, Zaman, Özdek, ve bu kavramların daha öte bağıntı ve tikelleşmeleridir.

Doğa bu nesnel ussallığı ile Viyana Pozitivistlerinin biçimsel mantığı altına girmeye izin vermez, yoksa bir Picasso tablosu gibi birşey olurdu.

Doğada dışlaşmış kavramdan başka ne olduğu sorulduğunda yanıtımız örneğin Uzay ve Zamanın Uzay ve Zaman olmanın dışında bir ne olduğu, Özdeğin Özdek olmanın dışında bir de ne olduğu soruları olacaktır. Eğer Uzay, Zaman ve Özdekten ve başka kavramlardan Uzay, Zaman ve Özdek ve başka kavramlar olma belirlenimini uzaklaştırırsak geriye kalanın ne olacağını sormaktır.

Tepe

"İnsan dünyaya fırlatılmıştır" — hiç olmazsa Heidegger'e göre. Ama mantıksal pozitivistler Heidegger ile anlaşmak zorundadırlar, çünkü olgucu-görgücü öncüller üzerine teleoloji bir yalancı-bilimdir. Us insanın evriminin ereksel bir süreç olduğunu söyler: Homo sapiensin ortaya çıkışı raslantısal değil, ama, doğa yasaları verildiğinde, zorunludur. DNA bir zar oyununun sonucunda saptanmış değildir. Dahası, insan estetik, etik ve entellektüel olarak saltık değer taşır, çünkü güzellik, özgürlük ve ussallık sonsuzluk kategorileridir. Değer geçici, yitici, sonlu değildir. Değer sonsuzluk ister. Olguculuk sonsuz değeri küçümsediği ve sonlu olguyu onun karşısına çıkardığı zaman kendini nihilizm olarak ele verir.

Tin bilme kipindeki Logostur. Şeyleri bildiğim zaman benim belirlenimlerim olurlar ve benim belirlenimlerim ve düşüncelerim dolaysızca nesneldir. Bilmenin anlamı budur. Doğa ile birlikte Tin de deneyim alanıdır, çünkü deneyim uzayda ve zamanda olanın kavramsallaştıılmasıdır.

Tepe

Tin Doğanın ötesidir, ve böyle olarak sözel anlamda meta-fiziksel olandır. Meta-fizik sözcüğünün Usa uygulanması yalnızca felsefenin tarihindeki bir raslantıya, Rodoslu Andronikus'un dikkatsizliğine bağlıdır ve Viyana Çevresi eşit ölçüde dikkatsiz tüm başka felsefecilik ile birlikte bu olumsallığı paylaşır, Usun meta-fiziksel olduğunu düşünür. Eğer felsefi problemlerin başlıca kaynağı olan dil yanlışlarından kaçınmayı istiyorsak, meta-fiziksel olan Tindir.

Tin uzaysal ve zamansaldır çünkü özdeksel Doğa ile karşıtlık içinde ve onun başkası olmasına karşın, tam bu karşıtlık dolayısıyla Doğayı moment olarak, ortadan kaldırılmış olarak, negatif olarak kendi içinde kapsar.

Tepe

"Wir haben die wissenschaftliche Weltauffassung im wesentlichen durch zwei Bestimmungen charakterisiert. Erstens ist sie empiristisch und positivistisch: Es gibt nur Erfahrungserkenntnis, die auf dem unmittelbar Gegebenen beruht. Hiermit ist die Grenze für den Inhalt legitimer Wissenschaft gezogen. Zweitens ist die wissenschaftliche Weltauffassung gekennzeichnet durch die Anwendung einer bestimmten Methode, nämlich der der logischen Analyse. Das Bestreben der wissenschaftlichen Arbeit geht dahin, das Ziel, die Einheitswissenschaft, durch Anwendung dieser logischen Analyse auf das empirische Material zu erreichen."

Tepe

"Bilimsel dünya görüşünü özsel olarak iki belirlenim yoluyla karakterize ettik: İlk olarak görgücü ve olgucudur: Yalnızca deneyim bilgisi vardır ki, dolaysızca verili olana dayanır. Böylelikle meşru bilimin içeriği için sınırlar çizilir. İkinci olarak, bilimsel dünya görüşü belirli bir yöntemin, yani mantıksal çözümleme yönteminin uygulaması yoluyla belirtilir. Bilimsel emeğin çabası bu mantıksal çözümlemenin görgül gereç üzerine uygulaması yoluyla birleşik bilime erişme hedefine yönelir."

Tepe

.

Tepe

OLGU / TATSACHE / FACT; DURUM / FALL / CASE; İŞLERİN DURUMU / SACHVERHALT / ATOMIC FACSTS]

1 Dünya durum olan herşeydir. 1.1 Dünya olguların toplamıdır, şeylerin değil. 1.11 Dünya olgular tarafından, ve bunların tüm olgular olması tarafından belirlenir. 1.12 Çünkü olguların toplamı durum olanı ve ayrıca durum olmayan herşeyi belirler. 1.13 Mantıksal uzaydaki olgular dünyadır. 1.2 Dünya olgulara bölünür. 1.21 Biri durum olabilir ya da durum olmayabilir ve tüm gerisi aynı kalabilir. 2 Durum olan, olgu olan, şeylerin durumunun sürmesidir. 2.01 İşlerin durumu nesnelerin (olgular, şeyler) bir bileşimidir. 2.012 Mantıkta hiçbirşey olumsal değildir: Şey işlerin-durumunda bulunabilirse, işlerin-durumunun olanağı şeyde önceden-yargılanmış olmalıdır. 2.02 Nesne yalındır. 2.0232 Kabaca konuşursak, nesneler renksizdir. 2.024 Töz durum olandan bağımsız olarak kalıcı olandır. 2.025 Töz biçim ve içeriktir. 2.027 Değişmez olan, kalıcı olan ve nesne birdir. 2.0271 Nesne değişmez olan, kalıcı olandır; betilenim değişen, kalıcı olmayandır. 2.034 Olgunun yapısı işlerin durumlarının yapılarından oluşur. 2.1 Olguların imgelerini oluşturuz. 2.12 İmge edimselliğin bir modelidir. 2.141 İmge bir olgudur. [2 SÜRÜYOR.]	1 Die Welt ist alles, was der Fall ist. 1.1 Die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge. 1.11 Die Welt ist durch die Tatsachen bestimmt und dadurch, das es alle Tatsachen sind. 1.12 Denn, die Gesamtheit der Tatsachen bestimmt, was der Fall ist und auch, was alles nicht der Fall ist. 1.13 Die Tatsachen im logisches Raum sind die Welt. 1.2 Die Welt zerfällt in Tatsachen. 1.21 Eines kann der Fall sein oder nicht der Fall sein und alles übrige gleich bleiben. 2 Was der Fall ist, die Tatsache ist, das Bestehen von Sachverhalten. 2.01 Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen (Sachen, Dingen). 2.012 In der Logik ist nichts zufällig: Wenn das Ding im Sachverhalt vorkommen kann, so muß die Möglichkeit des Sachverhaltes im Ding bereits präjudiziert sein. 2.02 Der Gegenstand ist einfach. 2.0232 Beiläufig gesprochen: Die Gegenstände sind farblos. 2.024 Die Substanz ist das, was unabhängig von dem was der Fall ist, bestehen. 2.025 Sie ist Form und Inhalt. 2.027 Das Feste, das Bestehende und der Gegenstand sind Eins. 2.0271 Der Gegenstand is das Feste, Bestehende; die Konfiguration ist das Wechselnde, Unbeständige. 2.034 Die Struktur der Tatsache besteht aus den Strukturen der Sachverhalte. 2.1 Wir machen uns Bilder der Tatsachen. 2.12 Das Bild ist ein Modell der Wirklichkeit. 2.141 Das Bild ist eine Tatsache.	1 The world is everything that is the case. 1.1 The world is the totality of facts, not of things. 1.11 The world is determined by the facts, and by these being all the facts. 1.12 For the totality of facts determines both what is the case, and also all that is not the case. 1.13 The facts in logical space are the world. 1. 2 The world divides into facts. 1.21 Any one can either be the case or not be the case, and everything else remain the same. 2 What is the case, the fact, is the existence of atomic facts. 2.01 An atomic fact is a combination of objects (entities, things) 2.012 In logic nothing is accidental: if a thing can occur in an atomic fact the possibility of that atomic fact must already be prejudged in the thing. 2.02 The object is simple. 2.0232 Roughly speaking: objects are colourless. 2.024 Substance is what exists independently of what is the case. 2.025 It is form and content. 2.027 The fixed, the existent and the object are one. 2.0271 The object is the fixed, the existent; the configuration is the changing, the variable. 2.034 The structure of the fact consists of the structures of the atomic facts. 2.1 We make to ourselves pictures of facts. 2.12 The picture is a model of reality. 2.141 The picture is a fact.
Ludwig Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus Mantıksal-Felsefi İnceleme §§ 1-2, Çeviri: Aziz Yardımlı

VII. İnsan Ne Zaman Sorumludur?

2. "Yasa" Sözcüğünün İki Anlamı

Herşey yasa sözcüğünün yanlış bir yorumu ile başlar. Kılgıda yasa ile insan bir kuralı anlar ki, onunla Devlet yurttaşlarına belirli bir davranışı yükler. Bu kurallar sık sık yurttaşların doğal dilekleri ile çelişir (çünkü eğer böyle olmasaydı onları getirmek gereksiz olurdu) ve buna göre birçok yurttaş tarafından gerçekte izlenmezken, başkaları tarafından kabul edilir, ama zorlama olarak duyumsanırlar. Devlet tikel yaptırımlar (cezalar) yoluyla yurttaşları edimsel olarak zorlar ki, bunlar dileklerini yasanın buyrukları ile uyum içine getirmeye hizmet eder.

VII. İnsan Ne Zaman Sorumludur? 1. İstenç-Özgürlüğü Yalancı-Problemi ... Her bilim nedensellik ilkesini varsayar. Öyleyse insan davranışının her açıklaması da nedensel yasaların geçerliğini kabul etmelidir; bu durumda ruhbilimsel yasaların. ... Hiç kuşkusuz nedensellik ilkesinin saltık olarak hiçbir kuraldışı olmaksızın her durumda geçerli olup olmadığını, e.d. determinizmin doğru olup olmadığını bilmeyiz; bunu hiç kimse bilmez. ...	VII. Wann ist der Mensch verantwortlich? 1. Das Scheinproblem der Willensfreiheit ... Jede Wissenschaft setzt das Kausalprinzip voraus. Auch jede Erklärung menschlichen Verhaltens muß mithin die Geltung des Kausalsatzes, also hier das Bestehen psychologischer Gesetze annehmen. ... Ob freilich das Kausalprinzip mit absoluter Ausnahmslosigkeit überall gilt, d. h. ob der Determinismus recht hat, das wissen wir nicht. Niemand weiß es. ...
"Öyleyse determinizm ve törel sorumluluk bağdaşmazdır. Ahlaksal sorumluluk özgürlüğü, eş deyişle nedensellikten bağışıklığı varsayar." Bu düşünce gidişi bütün bir kafa karışıklıkları dizisi üzerine dayanır. ...	"Also sind Determinismus und sittliche Verantwortlichkeit unvereinbar. Moralische Zurechnung setzt mithin Freiheit, d. i. Dispens von der Kausalität voraus.“ Dieser Gedankengang beruht auf einer ganzen Reihe von Verwechslungen. ...
Ama uslamlama bilindiği gibi şöyle gider: "Eğer determinizm doğru ise, eğer öyleyse olan herşey değiştirilemez yasalara boyun eğiyorsa, o zaman istencim de her zaman doğuştan karakterim ve her zaman etkin güdülerim tarafından belirlenir. İstencimin kararları öyleyse zorunludur, özgür değil.	Das Argument lautet aber bekanntlich so: ”Wenn der Determinismus recht hat, wenn also alles Geschehen unabänderlichen Gesetzen gehorcht, dann ist auch mein Wille stets durch meinen angeborenen Charakter und die jeweils wirkenden Motive determiniert. Meine Willensentschlüsse sind also notwendig, nicht frei.
4. Özgürlük ve Yasasızlık Özgürlük zorlamanın karşıtı anlamına gelir; insan eğer zor altında davranmıyorsa özgürdür, ve eğer dışsal bir araç tarafından kendi doğal dileklerinin yönünde davranması engellenirse zorlanmaktadır ya da özgür değildir.	4. Freiheit und Gesetzlosigkeit Freiheit bedeutet ja den Gegensatz zum Zwang, der Mensch ist frei, wenn er nicht gezwungen handelt, und er ist gezwungen oder unfrei, wenn er durch äußere Mittel daran gehindert wird, in der Richtung seiner eignen natürlichen Wünsche zu handeln.

Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 birinci yayım.   Aritmetiğin Temeleri Sayı Kavramı Üzerine Mantıksal-Matematiksel Bir Soruşturma Gottlob Frege Die Grundlagen der Arithmetik Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl von Dr. G. Frege, a. o. Professor an der Universität Jena. BRESLAU. Verlag von Wilhelm Koebner. 1884. The Foundations of Arithmetic Translated by J. L. Austin / Second Revised Edition The Science Library. HARPER & BROTHERS, NEW YORK / 1960. Frege'nin ikinci kitabı olan Die Grundlagen der Arithmetik bir Frege yorumcusu olan Michael Dummett (19245-2011) tarafından Frege’nin başyapıtı olarak görülür. Dummett Frege'nin yeteneğinin doruğunda iken yazdığı bu kitabın Grundgesetze der Arithmetik için bir prolegomenon olduğunu da düşünür. Geç bir tarihte Frege'nin anti-Semitik ve faşist düşüncelerini keşfettiği zaman şok geçirdiğini belirten Dummett iskambil oyunları ve falcılık tarihinde de sayısız kitap ve makalesi ile bir uzmandır. (Ayrıca, "The fortune telling and occult part of it has never been my principal interest" der.) 1944'te Roma Katolikliliğine dönen Dummett Katolik Kiliseninin Mass Ayininin anlaşılırlığı üzerine öğretisini savunan felsefi bir makale yazmıştır.

Tepe

Gottlob Frege (1848–1925)   Gottlob Frege (1848–1925) Göttingen üniversitesinde matematik, fizik, kimya ve felsefe okudu ve daha sonra Jena Üniversitesinde matematik profesörü oldu. Frege unutulmuş bir on dokuzuncu yüzyıl Alman üniversite profesörü idi. Bugün, hiç olmazsa Anthony Kenny'nin gözünde, "he is revered as the founder of modern mathematical logic, and as a philosopher of logic in the same rank as Aristotle" (Frege: An Introduction to the Founder of Modern Analytic Philosophy, 1995). Frege'nin Begriffschrift'inin "önermeler kalkülüsü"nün ilk dizgesel formülasyonunu kapsadığı kabul edilir. Kimilerine göre Grundlagen matematik felsefesinde bir devrim idi ve ayrıca modern dil felsefesinin başlangıcı olarak da görülmelidir. Michael Dummett'e göre, Descartes tarafından felsefede en temel problem olarak görülen bilgi probleminin yeri Frege'den sonra "mantık ve dil üzerine sorular" tarafından alınmış ve Frege ve Wittgenstein felsefede Kartezyen dönemi sonlandırmıştır. (Humanity, Jonathan Glover, 2001, s. 376) Bu tapınma tonundaki bilgisiz sözler haksızdır. Zamanla Frege'nin kendisi yaptıklarının yalnızca saçmalık olduğunu kabul etti ve aritmetiğin böyle sözde "mantıksal" türetilmesi görüşünden vazgeçti. Gene de onun usdışı denemelerinin izinden gitmek isteyenler vardır. "This small book is very probably the most studied work in the philosophy of mathematics."

Tepe

Gottlob Frege Kuzey Almanya'da Baltık Denizi kıyısında Büyük Mecklenburg-Schwerin Dükalığına ait Wismar'da Lutheran bir aileye doğdu. Gottlob doğduğu zaman bile bölgeye 1803'dek egemen olan İsveç kasaba üzerinde hak ileri sürmekten henüz vazgeçmiş değildi. Gottlob'un annesinin Polonya kökenli olduğu tahmin edilmektedir. Frege Wismar'da Gymnasiumu bitirdikten sonra Jena Üniversitesine gitti (1869). Henüz ortada birleşik bir Almanya yoktu. Gottlob Mecklenburg'da yaşamaktan gurur duruyor, Mecklenburg dükalığını seviyor ve demokratik olarak seçilmiş bir hükümet yerine böyle aristokratik bir hükümet biçimine inanıyordu. 1862'de Otto von Bismarck'ın Prusya başbakanı olması önemli politik değişimlerin başlangıcı oldu. Bismarck Alman devletlerinin Prusya'nın önderliğinde birleşmesini istiyordu. Avusturya bu politikaya karşı çıktı ve iki Germanik devlet arasında patlak veren savaşta Mecklenburg Prusya'nın yanında yer aldı. Prusya'nın savaşı kazanmasının sonucu Kuzey Alman Konfederasyonunun kurulması oldu. 1869'de Frege Jena Üniversitesine başladığı zaman Avrupa yeni bir politik yapı kazanmıştı. Orada geçirdiği iki yıl içinde Prusya önderliğindeki Alman devletleri 1870-71 Fransa-Prusya savaşında Fransa'yı yendiler ve 1871'de II. Reich (II. Alman İmparatorluğu) kuruldu. (I. Reich: Charlemagne tarafından kurulan Kutsal Roma İmparatorluğu; III. Reich: 1933-45 dönemi Nazi Almanyası.) Jena Üniversitesinde iki yıl eğitim gördükten sonra Frege 1871'de Göttingen Üniversitesine girerek orada matematik, fizik, kimya ve felsefe derslerine katıldı. Doktorasını 1873'te Göttingen'den aldı. ‘‘Frege looked back nostalgically to his boyhood days when a law banned Jews (except at the time of the fair) from staying in the town overnight. On 24 April he was regretting that the Reich had developed 'the cancer of Social Democracy'.’’ (Humanity, Jonathan Glover, 2001, s. 376)

Tepe

"Gottlob Frege, the father of analytical philosophy, declared Hitler a hero." Bir Frege yorumcusu olan Michael Dummet Frege'nin her zaman bir tutucu olarak bilindiğini, ama matematikçinin günlüğünü okurken şaşkınlık içinde kahramanının açık sözlü bir anti-Semit olduğunu keşfettiğini yazar. Politik "günlüğü Frege'nin aşırı-sağ politik görüşleri olan, parlamenter düzene, demokratlara, liberallere, Katoliklere, Fransızlara ve tümünden önce Yahudilere şiddetle karşı olduğunu, onların politik haklardan yoksun bırakılmaları ve, daha iyisi, Almanya'dan sürülmeleri gerektiğini düşündüğünü gösterir." (Michael Dummett: Frege: Philosophy of Language, p. xii.) Frege "bir zamanlar kendini bir liberal ve Bismarck'ın bir hayranı olarak görüyordu, ama kahramanları şimdi General Ludendorff ve Adolf Hitler idi. Değişim bu ikisinin seçilmiş demokratik hükümeti 1923 Kasımında bir darbe ile devirmeye çalışmalarından sonra oldu. Günlüğünde Frege ayrıca tüm analitik becerilerini Yahudileri Almanya'dan sürmek ve Sosyal Demokratları bastırmak için planlar geliştirme amacıyla da kullandı." (Hans Sluga: Heidegger's Crisis: Philosophy and Politics in Nazi Germany, p. 99ff). Frege genel seçimlerden hoşlanmıyordu ve Marxizm olarak gördüğü her tür sosyalizme karşı idi. Hitler'in bir sosyalist ve İngiltere'ye gönderdiği Wittgenstein bir Yahudi olması birer kuraldışı idi. BAĞLANTI Frege'nin Nazi benzeri görüşleri yaşamının son yılında (1924) yazılan ve 1928'te oğlu tarafından bir meslektaşına gönderilen bir günlükte açığa çıktı. Günlük herşeye karşın ancak 1973'te yaygın olarak bilinmeye başladı (Heidegger'in Naziliği 1933'ten bu yana biliniyordu ve ulusalcı, ırkçı, anti-Semit başka Alman felsefecilerin yanısıra, Kant ırkçı görüşlerini yayımlamada bir sorun görmemişti). BAĞLANTI 1924'te Frege yetmişinin ortalarındaydı ve 30 Nisanda günlüğüne şunları yazdı: "Anımsanabilir ki çok değerli Yahudiler vardır ve gene de Almanya'da bu kadar çok Yahudi olması ve gelecekte Alman yurttaşlar ile tam politik eşitlik kazanacak olmaları bir talihsizlik olarak görülebilir." ("One can remember that there are the most worthy Jews and still regard it as a misfortune that there are so many Jews in Germany and that in the future they will have full political equality with the German citizens.") Almanya'daki Yahudilerin "Almanya'dan yitmeleri, ya da daha iyisi yok olmaları" dileği ile anlaştığını belirtir ("would get lost, or better would like to disappear from Germany"). Analitik Felsefenin babası olacak olan Frege Deutschlands Erneuerung ("Almanya’nın Yenilenmesi") başlıklı aşırı ulusalcı bir derginin okuyucusu idi. 5 Mayıs 1924'te Hitler'i öven bir makale ile aynı görüşte olduğunu yazdı: ‘‘Adolf Hitler correctly writes in the April number of Deutschlands Erneuerung that, since Bismarck's guidance, Germany has not had a clear political goal. He thinks one must either go ahead with England against Russia or with Russia against England ...’’ (Humanity, Jonathan Glover, 2001, s. 377.) Politik uslamlamaları rayından çıkan bir kafanın başka düşünme alanlarında "düzgün" düşünebilmesi olanaklı mıdır? "Düzgün" düşünme ile "biçimsel olarak mantıksalı" anlarsak, Frege hiç kuşkusuz tasımları kullanıyordu, tıpkı dilbilgisi kurallarını bilmeksizin kurallı konuşmanın bütünüyle olanaklı olması gibi. Ama Frege bir yandan tasım kavramının ussal bilgisinden yoksun iken, öte yandan bilinçsiz tasımlarına içerik olarak aldığı tikel kavramların bilgisinden de yoksundu. İrrasyonalist düşünürler arasında Nazizm, Marxizm, ırkçılık, ulusalcılık, anti-Semitizm gibi görüşlerin yaygınlığı iyi bilinen bir olgudur. Bu görüşlerin tümü de evrensel insan hakları kavramına ve modern Yurttaş Toplumunun özgürlükçü, demokratik, eşitlikçi tinine aykırıdır. Tümü de ideolojik karakterleri dolayısıyla kaçınılmaz olarak şiddeti aklamak zorundadır. Bu eşitsizlik, eşeycilik, ırkçılık, Nazizm ve Marxizm, şiddet ve terör yandaşı ve uygulayıcısı "felsefeciler" arasında kimler yoktur: David Hume ve Kant, Heidegger ve Sartre, Schopenhauer, Nietzsche, Otto Neurath, Russell ve Wittgenstein. Bu adlar iki bilinç taşımıyor ve felsefelerine kendilerine ilgisiz uydurmalar olarak bakmıyorlardı. Tümü de insanlıktan umutsuzdu. Tümü de kendi özencine göre dünyayı değiştirmek istiyordu. Tümü de istençsiz budalalık yığınları olarak gördükleri insanlığı kurtarmak istiyordu. Her biri düzeltilmesi olanaksız yamuk tahtası ile dünyaya fırlatılmış bir saçmalık kitlesi saydığı insanlığın ortasında minik birer tanrı idi. Buna karşı modern döneminin özgürlük felsefecileri olan Descartes, Spinoza, Rousseau ve Hegel gibi ussalcılar analitik, pozitivist, materyalist felsefeciler arasında açıkça düşman olarak görülür.

Tepe

Frege'nin Sayı Kuramı analitik felsefenin ya da simgesel mantığın ilgi konusu değildir. Bu konuda haksız olmuş görünmez. Frege Sayı üzerine neler düşünmüş olursa olsun Sayı kavramı kendini Frege'nin düşüncelerinden bağımsız olarak, nesnel olarak belirlemiştir. (Eğer Frege'yi bekleyecek olsaydı sonsuza dek beklemesi gerekecekti.) Analitik felsefecilik Frege'nin simgecilik notasyonunu ve niceleyiciler üzerine çözümlemelerini onu Aristoteles'in yanına oturtmak için yeterli bulur. Frege analitik düşünürler arasında modern dönemin en büyük felsefecisi olarak da kabul edilir. Herşeye karşın, Frege'nin bunlardan haberinin olmamış olması sevindiricidir. Onun sorunu ne "Kavram Yazımı," ne de niceleyicier üzerine çözümlemeleri idi. Sayı Kavramının ne olduğunu bulmak istiyordu. Ve bulamadı. Frege yaşamının son yılında sayıların doğasını anlamak için başlangıçtaki çabalarının "tam başarısızlıkta sonlanmış göründüğünü" söyler (:: "seem to have ended in complete failure.” (Kaynak aşağıdaki kutuda.) Aritmetiğin Temelleri ile yeni bir girişim olarak başlayan şey aritmetiğin geometrik bir kaynağı olduğu düşüncesinde sonlanır: "Sorun üzerine ne kadar çok düşündüysem aritmetik ve geometrinin aynı temel – gerçekte geometrik bir temel – üzerinde gelişmiş olduğuna o kadar inandım, öyle ki matematik bütünüyle gerçekten de geometridir. Ancak bu görüş üzerine matematik kendini bütünüyle türdeş olarak sunar." "The more I have thought the matter over, the more convinced I have become that arithmetic and geometry have developed on the same basis – a geometrical one in fact – so that mathematics is its entirety is really geometry. Only on this view does mathematics present itself as completely homogenous. (Frege, Posthumous Writings, s. 277.) (Alıntı aşağıda.)

"'Sayı' sözcüğünü ve bireysel sayılar için sözcük ve imleri kuşatan sorular üzerine ışık düşürme çabalarım tam başarısızlıkta sonlanmış görünür. Gene de bu çabalar bütünüyle boşa gitmemiştir. Tam olarak başarısız oldukları için, onlardan birşeyler öğrenebiliriz. ... Bu soruşturmalar özellikle onları yerine getirme ediminde dil tarafından kolayca yanlış yönlendirilmemiz nedeniyle güçtür." "My efforts to throw light on the questions surrounding the word 'number' and the words and signs for individual numbers seem to have ended in complete failure. Still, these efforts have not been wholly in vain. Precisely because they have failed, we can learn something from them. … These investigations are especially difficult because in the very act of conducting them we are easily misled by language." (Frege, Posthumous Writings, s. 266-7.) (Alıntı aşağıda.)

Frege / Posthumous Writings, 1979 (SAYFALAR: 263, 265, 266, 269, 277) GOTTLOB FREGE Posthumous Writings This volume contains all of Frege's extant unpublished writings on philosophy and logic other than his correspondence, written at various stages of his career. Edited by HANS HERMES FRIEDRICH KAMBARTEL FRIEDRICH KAULBACH with the assistance of Gottfried Gabriel and Walburga Rodding Translated by PETER LONG ROGER WHITE with the assistance of Raymond Hargreaves 1979 s. 263, 265, 266, 269, 277. Tepe

Frege gerçekten de dil tarafından "yanlış yönlendirilmiştir." Sözcükler hem onu okuyan başkaları için hem de sık sık kendisi için tam olarak onun düşündüğü şeyi anlatmaz. Frege kavramın doğası ve dil ile ve tekil sözcükler ile ilişkisi konusunda göze çarpıcı ölçüde dikkatsiz ve bilgisizdir.

"Düşünceler ne dış dünyanın şeyleri ne de tasarımlardır. Bir üçüncü alan kabul edilmelidir. Buna ait olan şey duyular ile algılanamamasında tasarımlar ile bağdaşır; ama şeyler ile bilinç-içeriğine ait olacağı hiçbir taşıyıcıya gereksinimi olmamasında bağdaşır." :: “Die Gedanken sind weder Dinge der Außenwelt noch Vorstellungen. Ein drittes Reich muß anerkannt werden. Was zu diesem gehört, stimmt mit den Vorstellungen darin überein, daß es nicht mit den Sinnen wahrgenommen werden kann, mit den Dingen aber darin, daß es keines Trägers bedarf, zu dessen Bewußtseinsinhalte es gehört.” ― Gottlob Frege, Der Gedanke: eine logische Untersuchung. in: Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus I. 2. 1918. in: Gottlob Frege: Logische Untersuchungen. 3. Aufl. 1986.

Tepe

On the contrary, I find nothing in logistic for the discoverer but shackles. It does not help us at all in the direction of conciseness, far from it; and if it requires 27 equations to establish that I is a number, how many will it require to demonstrate a real theorem? H. POINCARE lnfinitesimals as explaining continuity must be regarded as unnecessary, erroneous, and self-contradictory. B. RUSSELL

Although it is a distinctly minor issue, we must mention Fibonacci's famous recurring series .... There is an extensive literature, some of it bordering on the eccentric, concerning these numbers ... . Some professional and dilettant esthetes have applied Fibonacci's numbers to the mathematical dissection of masterpieces in painting and sculpture with results not always agreeable, although sometimes ludicrous, to creative artists. Others have discovered these protean numbers in religion, phyllotaxis, and the convolutions of sea shells E. T. BELL

Burada pozitivist ve analitik yazarların görüşlerinin bir çözümlemesi yapılmaktadır. Bunun için kullanılan ölçüt Hegel'in "kurgul" ya da "saltık" yöntem dediği yalın kavram mantığıdır. Aristoteles'in tanıtlama ile anladığı şey son ilkelere dayanır ve hiç kuşkusuz belitseldir. Daha iyisi ilkenin, dolaysızlığın kendisinin dolaylı olduğunu, dahası zorunlu olarak böyle olduğunu kabul ederek başlamaktır. Gene de ilke sözcüğünü kullanırsak, ilke analitik karakterdedir. Ama analitik olmak kendinde sentetik olmaktır. Ya da, kavramın kendi belirlenimlerini kullanırsak, analitik anlağın dolaysızı kendinde zorunlu olarak dolaylıdır. Bu birlik diyalektik ile anlatılan şeydir. Ama diyalektik karşıtların zorunlu birliği olarak o ilk dolaysız birlikten ayrı ve yeni bir terime götürür.

Kavramın bilgisi tanımlama, açıklama, betimleme, örneklendirme, gösterme vb. gibi bir tasarımsal temellendirmeyi dışlar çünkü bunların her biri kendileri tanıtlanmamış bileşenler kullanır. Frege'nin sayı tanımının kendisi sayıyı içerir ve bu nedenle bir tanım olarak bile geçersizdir. Kavram yalnızca ve yalnızca kendisidir. Ama kendisi zorunlu bir bağıntılar bütünü içinde, bir dizge içinde bir bileşendir. Wittgenstein'ın sessizlik bölgesine sürdüğü Kavram için söylememiz gereken şey onun yalnızca kendisi olduğu, kendisinden başka birşey tarafından "tanımlanmayı" kabul etmeyeceğidir. Dizgenin dışında kalan tüm söylem tarihsel ve kültürel olarak belirlenen bir yardımcı dokudur ve Kavramın arılığı ve bağıntıları içinde kavranmasını sağlamaya hizmet etmek üzere amaçlanır.

Anlam üzerine anlamsız kuramların kendileri tasarımsal yapıdadır. Anlamın kendisi anlamını kavramsal içerik taşımasında bulur. Anlama "kavram yükleme"dir ve dil yanlışları ve anlaşmazlıklar denilen şeyin nedeni öznenin bu işi bilinçsiz olarak yapmasıdır.

Kavramsal Dizge hiç kuşkusuz daha öte kısaltılamayacak denli kısadır, ya da saltık olarak kısa olandır. Simgecilik doğru olarak kullanıldığında bu kavramı doğru olarak anlattığı için böyledir. "Simgesel mantık" denilen şey gerçekte mantığın kendisini bilmeden ona bir tür sağın altyapı sağlama gibi düşüncesiz bir işi üstlenmiştir.

Bir iki teknik noktaya dönersek, mantık kavram bağıntılarından başka birşey değildir. Zorunluk terimi mantıksal olanı tıpkı özgürlük teriminin anlattığı kadar anlatır. Analitik düşünürlerin yeni ayrımsamaya ve anlamaya başladıkları "tasım mantığı" usun bütününün yalnızca bir bölümüdür ve anlaşılması en yakın öncülleri olan "kavram" ve "yargı" mantığının kendisinin anlaşılmasını gerektirir. Kavramı ona uygun sözcük ile anlatmak evrensel anlaşılırlık için saltık olarak zorunludur. "Önermeler mantığı," "simgesel mantık," "arı mantık," "yüklem mantığı," "önermeler kalkülüsü" gibi eğretilemelelerin, eğer içerdikleri ve içermemeleri gereken mantıksızlıkları bir yana bırakırsak, sık sık birer oxymorondan öte değerleri yoktur. Bunlar mantıksal olarak geçersiz olmaktan önce semantik olarak geçersizdir.

Mantık hiç kuşkusuz biçimseldir, eğer içerik ile özdeksel olanı, olgusal ya da fiziksel olanı, duyulur ve tekil olanı anlıyorsak. Ama mantığın kendisinin içeriğe ilgisiz olduğunu söylemek içeriğin kendisinin mantıksal bir kavram olmadığını söylemektir. Evren doğal ve tinsel olanın bütünlüğü olarak ussaldır, ve böyle olarak mantığın içeriğidir. Viyana Çevresi pozitivistleri ya da olgucuları herşeyden önce "olgu" kavramının bilgisinden yoksundurlar. Olgunun kendisi arı ussal ya da mantıksal dizgede bir bileşen ya da kıpıdır, ve böyle olarak olgucuların metafiziğin alanına sürdükleri şeyler arasında bulunur. Ama metafiziksel olan fiziğin ötesi olan ise, o zaman tinsel olandır çünkü tin alanı öncülü olarak doğa alanını alır. Gene de olgucuların "metafizik" ile anladıkları şey usun kendisi, ya da daha iyisi onun bilimi, Hegel'in Mantık Bilimi dediği şeydir.

Tepe

Kavramsız felsefecilikte sözcüklerin anlamı üzerinde anlaşmak olanaksızdır, çünkü kavram doğal bilincin düzleminde saltık olarak arı değil, e.d. kendisi değil, ama tasarımsaldır ve böyle olarak ancak "dil yanlışları" denilen şeyi üretmeye hizmet eder. Mantığın ne olduğu konusunda tam bilgisizlik içinde, "mantık" sözcüğü her yere girer. Örneğin Poincaré haklı olarak Russell'ın "mantıksal" ilkelerinin gerçekte sezgisel sentetik yargılar olduğunu söylüyordu. Frege'nin kendisi aritmetiğin mantıksal kökenli olduğunu söylerken "mantık" ile ne anladığı sorusunu yanıtlamış değildi.

Tepe

Frege kitabın "Bir sayısı nedir?" sorusu ile başlar. Soru sıradan bilince yöneltildiğinde bir kural olarak "Bir sayısı bir Şeydir" :: „die Zahl Eins ist ein Ding“ yanıtının alınacağını belirtir. Gerçekten de kavramsız doğal bilincin daha iyi bir yanıt verme olanağı yoktur. Frege "die" ve "ein"arasındaki ayrımı belirttikten sonra yanıtın bir tanım olmadığını ve buna göre Bir ile herkesin dilediği şeyi anlayacağını söyler. Ve Frege bu bilinci kendi tasarımsal düşünme düzleminde yanıtlama çabasına girişir. Bu hiç kuşkusuz analitik okul dışında "felsefe" olarak anlaşılan şeyin kavramsal yönteminden bütünüyle başka bir yöntemi gerektirir. Ve Frege'nin yöntemi bu umutsuz yanıtı vermekten öteye geçemeyecek olan sıradan bilincin kendisinin tasarımsal düşünme yönteminden öteye geçmiyor görünür.

"1 + 1 = 2 eşitliğinde 1'in yerine iki kez aynı nesneyi, diyelim ki Ayı koyabilir miyiz?" Koyarsak Ay + Ay = 2 olacaktır. Ama bir Ay vardır. :: "Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1 beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen?"

Bu "soru" bir minik tarafından sorulsaydı pekala paniğe kapılabilirdik. Ama bir matematikçi tarafından sorulmaktadır ve altında ilk bakışta göründüğünden başka bir anlam yatıyor olabilir. Frege'nin düşünme tarzı böyledir. Burada Frege'nin "mantığın" ve "matematiğin" ilişkisi olarak düşündüğü şeyin bizi nerelere çekeceğini anlamaya başlayabiliriz.

Kavramsal düşüncede deneyimsiz doğal bilinç Frege'nin bu tür uslamlamaları ile baş edemez. Onları anlamaya, doğrulamaya çabalar. Saçmalık o kadar çarpıcıdır ki, bunu "Frege" gibi bir dehadan bekleyemez. Gerçekte görmektedir, ve gördüğü şey doğrudur: İlk denklem nicelik düzlemindedir ve sayısal bir ilişkidir. Ama Frege'nin 1'in yerine "Ay" ya da başka bir nesneyi koyduğu zaman nicelik yerine bir nitelik gelmektedir. Ve bu doğal bilinci kendini usdışına uyarlama, anlamsız olanı anlama çabasına yöneldir.

"1¹ [1 x 1] ne Aya ilişkin olarak birşey söyler, ne de Güneşe, ya da Sahra'ya, ya da Teneriffe Doruğuna ilişkin. çünkü böyle bir bildirimin ne anlamı olabilir?" :: "1¹ = 1 weder vom Monde etwas aussagt, noch von der Sonne, noch von der Sahara, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn einer solchen Aussage sein?"

Bunlar hiç kuşkusuz bilgi ve bilim adına sözü edilmeye bile değmeyecek saçmalıklardır. Ama böyle irrasyonalizmin bir tür peygamberlik gibi kabul edilmesi ve ne yaptığı konusunda hiçbir kavrayışı olmayan Frege'nin mantık ve matematik üzerine ciddi çalışmaları olan Aristoteles ile aynı düzeyde görülmesi olgusu Frege'nin "çıkarsamalarıı"nı yakından izlemek için gerekçe olabilir. Sayı Kavramının Frege onu çıkarsamadan çok önce, aslında binlerce yıl önce doğal us tarafından çıkarsanmış olması sevindiricidir. Eğer bu işi Fregelerden bekleyecek olsaydık, Aritmetik hiçbir zaman doğamazdı.

Tepe

Aritmetiğin Temelleri büyük bölümünde matematik üzerine Frege'nin kabul etmediği görüşlerin eleştirisine ayrılmıştır. Frege'nin "eleştirileri" bir tür karşılaştırmalı görgül bilim tonunda sunulur ve ortaya olumlu birşey koymadan yalnızca "hayır" demekten oluşur. Tüm birincil kavramlar "kavramlar" olarak değil, ama Frege'nin kendisinin kavramdan ayırdettiği "tasarımlar" olarak, daha şimdiden bilinen düşünceler olarak alınır ve çıkarsanmadan kullanılır.

Tepe

Sayı kavramı, Frege'nin kendi terimleri ile, bir "kavram," "bir kavramın altına düşen nesne," "kavramlar arasındaki eş-sayılılık" ve "bir kavramın uzamı" gibi bileşenlerden oluşur.

"Bir sayı bildirimi bir kavrama ilişkin bir bildirim kapsar" (AT, §§ 46, 55, 57.)

"(n + 1) sayısı F kavramına aittir, ama ancak F altına düşen ve n sayısının "F altına düşen, ama a olmayan" kavramına ait olacağı bir yolda oluşmuş bir a nesnesi varsa." (AT, § 55).

"F kavramına ait olan sayı "F kavramına eş-sayılı kavram" kavramının uzamıdır, ki burada bir F kavramına G kavramı ile eş-sayılı dedik, eğer iki yanın ikircimsiz bağlılaşımının o olanağı varsa." (AT, § 107.)

"Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes „Begriff gleichzahlig dem Begriffe F“, indem wir einen Begriff F gleichzahlig einem Begriffe G nannten, wenn jene Möglichkeit der beiderseits eindeutigen Zuordnung besteht." Die Grundlagen der Arithmetik, § 107.)

"The Number which belongs to the concept F is the extension of the concept “concept equal to the concept F” where a concept F is called equal to a concept G if there exists the possibility of one-one correlation referred to above."

Tepe

"Today, logic is a branch of mathematics and a branch of philosophy. In most large universities, both departments offer courses in logic, and there is usually a lot of overlap between them." (KAYNAK)

Biçimsel (simgesel) diller doğal dillerin bir parçasını doğru olarak yansıtır.

Frege "mantık" ile ne anlar?
"At the heart of Frege’s conception of logic is his notion of logical generality."

"Could it be that Frege’s logic is something hitherto unknown to us? My aim is to suggest that it is." (Frege’s Logic, Danielle Macbeth, Harvard University Press, 2005, s. 2). ⊨

Tepe

http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#2

Tepe

Richard Dedekind, Georg Cantor, Giuseppe Peano and Bertrand Russell all had theories of abstraction. In fact, Frege himself is often said to have espoused theory of abstraction. So it is very important to understand what exactly Frege and Husserl each meant when they used the word.
(İtalikler sonradan). BAĞLANTI

Husserl sayıyı "sayma" sürecinden soyutlar, e.d. türetir. Sayma sürecinin kendisinin sayıyı öngerektirmesi ölçüsünde bu bir çıkarsama, türetme, ya da tanım değildir. Kötü bir felsefe bile değildir.

Husserl clearly describes the theory of abstraction he had come to advocate in Chapter 4 of the Philosophy of Arithmetic where he defines number abstraction as a procedure by which, while actually engaged in the counting process, the counter "abstracts from" the particular properties of the individual members of the multiplicity, or set of items being counted, the particular way in which they are given, and any relations obtaining among them, only regarding the set as being composed of distinct featureless items to be counted (pp. 85-88). Anticipating the objection that in so doing the items themselves and any relations obtaining between them would naturally disappear (p. 84), Husserl adds that abstracting from the particular properties of the items to be counted merely means not directing one's attention toward them while actually counting. ''That absolutely does not have the effect of making these contents and the relations obtaining among them disappear" (p. 85). He ends his chapter by condemning Aristotle's, John Locke's and J. S. Mill's theories of abstraction (pp. 91-92).

Husserl sayma sürecinde sayılan nesnelerin özelliklerini soyutladığını belirtir. Ama bu soyutlama nesneler arasındaki ilişkilerin yitmesine yol açacaktır (dolayısıyla sayma işlemi yapılamayacaktır). Bu eleştiriyi karşılama yolu "soyutlama"nın nesneleri edimsel olarak sayarken dikkatini o özelliklere yöneltmemekten oluştuğunu belirtmektir. Nesneler yerlerindedir, ve korkulacak birşey yoktur. Ama Frege böyle bir açıklamayı "soyutlama" olarak kabul etmez ve "tüm içeriğin boşaltılması" olarak görür.

Georg Cantor, also a Weierstrass student, was Husserl's close friend, colleague and mentor at the University of Halle from 1886 to 1900. And Husserl's description of the abstraction process in the Philosophy of Arithmetic is actually quite similar to descriptions of the same process Cantor made during those years. A look at Husserl's personal copies of Cantor's Contributions to the Theory of the Transfinite (1886-90) in fact shows that Husserl marked and underlined precisely those passages (and almost exclusively those passages) in which Cantor defined the abstraction process. For instance, Husserl marked and underlined the passage in which Cantor wrote:

By the power of cardinal number of a set M . . . I understand the general concept or species concept (universal) which one obtains when one abstracts from the set both the nature of its elements as well as all relationships which the elements have either between themselves or to other things, in particular to the order that may prevail between the elements, and only reflects on that which is common with all sets which are equivalent with M.

Tepe

Frege aritmetiğin a priori karakterli olduğunu, deneyimden ya da görgül gözlemden türemediğini, ama mantığın bir dalı olduğunu kabul eder. Buna göre aritmetiksel yasalar "analitik" yasalardır ve analitik olmak ise genel mantıksal yasalardan türeyebilir ve böylece a priori olmaktır ("... die arithmetischen Gesetze analytische Urtheile und folglich a priori sind." Grundlegung, § 87.)

ÇELİŞKİ VE MANTIKSALLIK
Analitik bildirimler çelişki ilkesi altında durur. Çelişki özdeşlik ile karşıtlık içindedir ve buna göre analitik olmaması, kendisinden birşeyin çıkarsanmasına izin vermemesi gerekir. Ama çelişki ayrım karakteri nedeniyle doğrudan doğruya bir ilişki, dahası birbirini belirleyen ve vareden iki karşıt terimin ilişkisi ve dolaysızca iki karşıt terimin birliğidir. Tam olarak analitik düşünme düzleminde soyutlamanın ya da bir terimin ötekinden ayrı olarak düşünülmesinin olanağıdır.

"Genel mantıksal yasalardan türetilebilir olmak analitik olmaktır" önermesi böylece mantıksız olarak görülen çelişkiden hiçbirşey türetilemez anlamında alınır.

Öte yandan çelişmeme ya da özdeşlik ilkesi mantıksal olmak ise ve mantıksal olmak zorunluk imlerse, çelişkinin kendisinin zorunlu olması onu da eşit ölçüde mantıksal kılar. Çelişkinin mantıksız olduğunu söylemek çelişkinin yok olduğunu söylemektir. Ama çelişki vardır ve özdeşlik denli mantıksaldır.

Tepe

Aritmetiğin Temelleri söz konusu olduğu sürece, Frege bu çalışmasında Sayı Kavramının kendisinin türetilmesi açısından bir "yöntem"in gerekli olduğunu düşünmez. Herhangi bir biçimde de olsa bir tanıtlama düzeni yoktur ve bir anlatı ya da söylem biçiminde ilerleyen çözümleme bilinçlerde daha şimdiden bulunan tanımlar, tasarımlar, ön-düşünceler üzerine, herkes tarafından daha şimdiden bilindiği varsayılan anlamlar üzerine dayanır. Kısaca, yalnızca önyargılar üzerine, "dil yanlışları" üzerine dayanır. "Sayının herhangi bir şeye ait bir özellik" olmadığını, ya da "sayı tasarımlarının kas duyumlarına bağımlı motor fenomenler" olmadıklarını gösterme türünden kaygılar ve şimdiye dek bütün bir matematik ve felsefe tarihinde eksik olan sayı kuramının türetilmesi gibi bir üstenim arasındaki eşölçümsüzlük büyüktür.

Buna karşın örneğin internet "Stanford Encyclopedia of Philosophy" şöyle yazar: "The development of proof theory can be naturally divided into: the prehistory of the notion of proof in ancient logic and mathematics; the discovery by Frege that mathematical proofs, and not only the propositions of mathematics, can (and should) be represented in a logical system ..." Frege'nin "matematiksel tanıtlamaların mantıksal bir dizgede temellendirilebileceği (ve temellendirilmesi gerektiği)" görüşü tanıtlamanın tarihini başlatır. Gene de bir sorun vardır, çünkü Frege'nin projesi bir proje olarak kalmasının yanında öncelikle kendisi tarafından başarısız olarak görülmüştür. Pozitivist ya da analitik tanıtlama "görüşü" normal olarak tümevarım andırımı yoluyla, sıradan bir tasım işlemi yoluyla yapılan sözde tanıtlamanın ötesine geçemez. Dahası, tanıtlamanın salt biçimsel-mantıksal olması gerektiği düzeye dek, böyle tanıtlama olgusallık ya da içerik ile ilgisiz olacaktır. "Simgesel tanıtlama" gibi bir yenilik daha umut verici görünür. Öte yandan, belitsel ya da geometrik tanıtlama yöntemi belitlerin tanıtlamasız olmaları olgusundan ayrı olarak, belitlerin nasıl yorumlanabilecekleri gibi daha öte sorunlar yaratır. Örneğin Hilbert tarzında düşünenler belitleri keyfi kurgular olarak görerek onları doğal bilinç için olanaklı en iyi tanıtlama yöntemini yok etme pahasına tanıtlamanın bütünüyle dışına atarlar.

Tanıtlamanın "mantıksal" doğada olduğunun düşünülmesi tüm başka "mantıksal doğruluklar" denilen şeylerin temel mantıksal doğruluklardan türetilmesi gerektiği düşüncesine götürür ve bu mantıksal doğruluklar ise bellitler olarak alınır. Frege'nin (ya da Russell'a göre Frege'nin) yöteminin bu olduğu kabul edilir. Bu görüşün Hilbert'in belitlere yaklaşımı tarafından desteklendiği gibi çok enteresan bir düşünce de kabul edilir. Ama Hilbert'in belitleri keyfi önermeler olarak kabul ettiği düzeye dek ya Hilbert'in yaklaşımı ya da belit kavramının kendisi reddedilmelidir. Frege-Russell tanıtlama modeli ikisini de yapmaz.

Tepe

Nicelik bağıntılarının bilimi olarak Aritmetiğin mantıksal olduğunu söylemek bile gereksizdir çünkü Aritmetik kavramlardan başka hiçbirşey ile ilgilenmez ve sezgisel yan Nicelik kavramının doğasına değil ama onun dışsal yanına, belirli bir nicelik olarak nicenin ya da sayının olumsal büyüklüğüne bağlı dışsal bir noktadır, mantıksal değil ama mekaniktir, usun değil ama anlağın bir problemidir.

Aritmetiksel işlemlerde sezginin ya da parmak saymanın bulunduğunu düşünmek kavramın doğası konusundaki bilgisizliğe bağlıdır (Frege'nin Giriş yazısının başında sözünü ettiği problem budur, çünkü doğal bilinç, Kant'ın kendisinin de yaptığı gibi, örneğin "Bir" ile herhangi bir "şeyi" anlar ve parmak sayar). Herşeyi deneyime indirgeme, kavramdan kaçarak görgül olana sığınma biçimindeki düşüncesizliğin düşünceyi korkuttuğu bir dönemde aritmetiğin mantıksal olduğunu söylemek anlamlı olabilir. Ama pozitivist düşünürlerin mantık ile anladıkları şeyin, simgesel mantığın gerçekte mantık ile bir ilgisi yoktur ya da mantık ile ilgisinin asıl karakteri bilinmez. Önermenin asıl kavramını oluşturan Özne-Yüklem mantıksal ilişkisi bile mantıksal pozitivizm tarafından bozulur, çünkü mantıksal pozitivizm Özne-Yüklem ilişkisini karşıtlık değil ama özdeşlik olduğu, totoloji olduğu ölçüde mantıksal (= analitik) olarak görür. Mantıksal pozitivizm için mantıksal olmak analitik olmak, ve analitik olmak totolojik olmaktır. Özne-Yüklem ilişkisi ancak Özne-Özne ilişkisi biçimine bozulduğu zaman "mantıksal" olarak görülür. Ama "Özne Öznedir" bağıntısının bir önerme olduğunu söylemek için bir pozitivist gibi, e.d. mantıksız olarak düşünmek gerekir.

Poincaré charged that Russell’s “logical” principles were really intuitive, synthetic judgments in disguise: "We see how much richer the new logic is than the classical logic; the symbols are multiplied and allow of varied combinations which are no longer limited in number. Has one the right to give this extension to the meaning of the word logic? It would be useless to examine this question and to seek with Russell a mere quarrel about words. Grant him what he demands, but be not astonished if certain verities declared irreducible to logic in the old sense of the word find themselves now reducible to logic in the new sense—something very different. We regard them as intuitive when we meet them more or less explicitly enunciated in mathematical treatises; have they changed character because the meaning of the word logic has been enlarged and we now find them in a book entitled Treatise on Logic? (Poincaré 1908:ch. 4, §11, 461). , Henri 1908. Science et M´ethode. Paris: Flammarion. Trans. George Bruce Halsted in The Foundations of Science (Lancaster, PA: The Science Press, 1946).

Tepe

Doğal dillerin bulanıklık ve ikircim ile yüklü olmaları biçimsel-simgesel diller ile değiştirilmeleri isteminin gerekçesidir. Burada dilin düzeltilmesi olarak istenen şeyin doğru formülasyonu kavramın bilgisinin kazanılmasıdır. Gerçekten de doğal dilin sözcükleri kavramı dolaysızc anlatmaz ve örneğin uzay, zaman, özdek, ivme, devinirlik vb. gibi sözcükler giderek fizikçilerin bilinçlerinde bile kavram ile çakışmaz. İnsan bilimleri için de aynışey geçerlidir. Ve bu sözcükleri içeren tasımların kullanımında ise durum daha da kötüleşir. Ama açıktır ki simgeler ve formüller de sözcükler ile aynı kötü kullanımlara açıktır çünkü sözcükler de kavramın simgeleridir.

Doğal dilin "matematiksel modeli" olarak düşünülen şey kendisinde tüm kavramları nicelik ve nicelik ilişkileri düzlemine indirgeme gibi bir eksiklik taşır.

Tepe

Yargı gerçekte kavramın açınımı, kavramın tikelleşmesidir, evrensel, tikel ve tekillik olarak kendi ile bağıntısıdır (bunlar simgesel mantıkta "niceleştiriciler" olarak formüle edilir); önerme yargı kavramının görgül bilinçteki ya da dildeki anlatımıdır. Özne ve Yüklem bağıntısı Koşaç tarafından kurulur. Dolaylı kılıcı etmen olan boş Koşaç önermeyi ayırdığı denli de birleştirir; ayrımı olduğu denli de özdeşliği bildirir. Tasımda önermenin eksikliği, uçların göreli bağımsızlığı ortadan kaldırılır ve koşacın yeri medius terminus tarafından doldurulur.

Önermede "koşaç" özne ve yüklemin eşitliğinden ya da birliğinden değil, ama, daha derin gerçek mantıksal düzlemde, kavramın tikelleşmesinde kendinde kalmasından, örneğin tekilin kendinde o denli de evrensel olmasından gelir. Pozitvizim "metafiziksel" dediği bu mantıksal-kavramsal bağıntılara yabancı kaldığı sürece yalnızca çabalar, ama hiçbir zaman yargı ve tasım üzerine bilgiye ulaşamaz. Koşaç bir bakıma yargıda kavramın yarılmasına, kendine dışsallaşmasına karşı çıkar ve özdeşliği yeniden kurar. Önermede özne ve yüklem bağıntısı ise nereden türediği bilinmeyen pozitif bir veri olarak kabul edilir.

Evrensel salt kendi başına duran kavram değildir. Evrensel tikelin evrenselidir ve onu kendi altında kapsar; eğer tikeli evrenselin karşıtı olarak görürsek, bu karşıtlık bağıntısı eşit ölçüde birlik bağıntısıdır, iki karşıt uç eşit ölçüde birdir, ve bu birliğin kendisi mantıksal olarak tekil olana ilerlemedir.

Tepe

§ 27 için not (tasarım; nesnellik)

§ 28'e not: "Öznel anlamda tasarım ruhbilimsel çağrışım yasalarının bağıntılı olduğu şeydir; duyusal, resimsel yapıdadır. Nesnel anlamda tasarım mantığa aittir ve özsel olarak duyusal-olmayandır, üstelik nesnel bir tasarımı imleyen sözcük sık sık onun anlamı olmayan öznel bir tasarımı kendisi ile birlikte taşısa da. Öznel tasarım sık sık ayrı insanlarda saptanabilir ayrımlar gösterirken, nesnel tasarım herkes için aynıdır. Nesnel tasarımlar nesneler ve kavramlar olarak bölümlenebilir. Karışıklıktan kaçınabilmek için, "tasarımı" yalnızca öznel anlamda kullanacağım. Kant'ın bu sözcük ile her iki imlemi de bağlaması nedeniyledir ki öğretisi çok öznel, idealist bir ton kazanmış ve gerçek görüşünü saptamak güçleşmiştir. Burada yapılan ayrım ruhbilim ve mantık arasındaki ayrım kadar geçerlidir. Keşke bunlar her zaman sıkı sıkıya birbirinden ayrı tutulabilse."

"Die Vorstellung im subjectiven Sinne ist das, worauf sich die psychologischen Associationsgesetze beziehen; sie ist von sinnlicher, bildhafter Beschaffenheit. Die Vorstellung im objectiven Sinne gehört der Logik an und ist wesentlich unsinnlich, obwohl das Wort, welches eine objective Vorstellung bedeutet, oft auch eine subjective mit sich führt, die jedoch nicht seine Bedeutung ist. Die subjective Vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen Menschen, die objective für alle dieselbe. Die objectiven Vorstellungen kann man eintheilen in Gegenstände und Begriffe. Ich werde, um Verwirrung zu vermeiden, „Vorstellung“ nur im subjectiven Sinne gebrauchen. Dadurch, dass Kant mit diesem Worte beide Bedeutungen verband, hat er seiner Lehre eine sehr subjective, idealistische Färbung gegeben und das Treffen seiner wahren Meinung erschwert. Die hier gemachte Unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen Psychologie und Logik. Möchte man diese immer recht streng auseinanderhalten!"

Tepe

Introduction: Frege on the Foundations of Arithmetic and Geometry
MATIHTAS SCHIRN

Number theory and analysis

To Frege we owe the first systematic construction of an axiomatized, complete and consistent calculus of first-order logic with identity which encompasses the classical propositional calculus. The calculus of first-order logic was developed in his Begriffsschrift of 1879. In this small book, Frege also in effect used second-order logic serving to introduce concepts such as following in a sequence and heredity of a property in a sequence, required for laying the logical foundations of arithmetic. By way of integrating the propositional and predicate calculus, and, in particular, by solving the problem of multiple quantification, Frege went far beyond Boole's logic.

Tepe

Frege locates the source for the "complete failure" in his earlier theory of extensions:

"One feature of language that threatens to undermine the reliability of thinking is its tendency to form proper names to which no object corresponds. … A particularly noteworthy example of this is the formation of a proper name after the pattern of 'the extension of the concept a' … . I myself was under this illusion when, in attempting to provide a logical foundation for numbers, I tried to construe numbers as sets. (Ibid., p. 269)"

Tepe

Aritmetiğin Temelleri. Sayı Kavramı Üzerine Mantıksal Matematiksel Bir Araştırma / Çev. Aziz Yardımlı	Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl / von Dr. G. Frege, a. o. Professor an der Universität Jena. / BRESLAU. Verlag von Wilhelm Koebner. 1884.	The Foundations of Arithmetic / Translated by J. L. Austin / Second Revised Edition, 1960.
Giriş Bir saysının ne olduğu, ya da 1 iminin neyi imlediği sorusuna çoğunlukla şu yanıt alınır: "Ne mi, bir şey." Ve bunun üzerine "Sayı bir Şeydir." önermesinin bir tanım olmadığı, çünkü bir yanda belirli ve öte yanda belirsiz tanımlığın durduğu, ya da yalnızca Bir sayısının şeylere ait olduğunu anlattığıı ama bunun hangi şey olduğunu belirtmediği olgusuna dikkat çekilince, belki de Bir demeyi istediğimiz herhangi bir şeyi seçmemiz istenecektir. Ama eğer herkesin bu ad ile istediğini anlama hakkı olsaydı, o zaman Bire ilişkin aynı önerme değişik insanlar için değişik şeyleri imlerdi; böyle önermelerin hiçbir ortak içeriği olmazdı. Kimileri belki de soruyu geri çevirecek ve aritmetikte a harfinin imleminin verilemeyeceğini belirtecekti; ve eğer a iminin bir sayıyı imlediği söylenecek olsaydı, bunda da Birin bir Şey olduğu tanımı ile aynı eksiklik bulunacaktı. Şimdi a ile bağıntı içinde sorunun geri çevrilmesi bütünüyle haklıdır: Hiçbir belirli, belirlenebilir sayıyı imlemez, ama önermelerin genelliğini anlatmaya hizmet eder. Eğer a + a - a = a'da a yerine keyfi ama her yerde aynı olan bir sayıyı koyarsak, o zaman her zaman doğru bir eşitlik elde ederiz. a harfi bu anlamda kullanılır. Ama Bir durumunda sorun özsel olarak başka türlüdür. 1 + 1 = 2 eşitliğinde 1'in yerine iki kez aynı nesneyi, diyelim ki Ayı koyabilir miyiz? Tersine öyle görünür ki, ilk 1 yerine ikincisi için olandan başka birşey koyulmalıdır. Niçindir ki burada tam olarak ikinci durumda yanlış olacak olanın yapılması gereksin? Aritmetik yalnızca a harfi ile yapamaz, ama değişik sayılar arasındaki bağıntıları evrensel olarak anlatabilmek için b, c, vb. gibi daha başkalarını da kullanmalıdır. Öyleyse 1 iminin de, eğer benzer bir yolda önermelere bir evrensellik vermeye hizmet etmişse, yeterli olamayacağı düşünülmelidir. Ama Bir sayısı belirlenebilir özellikler ile belirli nesne olarak görünmez mi, örneğin kendi kendisi ile çarpıldığında değişmeden kalma gibi? Bu anlamda a için hiçbir özellik verilemez; çünkü a için ileri sürülen şey sayıların ortak bir özelliği olacaktır, oysa 1¹ [1 x 1] ne Ay üzerine birşey söyler, ne de Güneş, ya da Sahra, ya da Teneriffe Doruğu üzerine; çünkü böyle bir bildirimin ne anlamı olabilir?	Einleitung Auf die Frage, was die Zahl Eins sei, oder was das Zeichen 1 bedeute, wird man meistens die Antwort erhalten: nun, ein Ding. Und wenn man dann darauf aufmerksam macht, dass der Satz „die Zahl Eins ist ein Ding“ keine Definition ist, weil auf der einen Seite der bestimmte Artikel, auf der anderen der unbestimmte steht, dass er nur besagt, die Zahl Eins gehöre zu den Dingen, aber nicht, welches Ding sie sei, so wird man vielleicht aufgefordert, sich irgendein Ding zu wählen, das man Eins nennen wolle. Wenn aber Jeder das Recht hätte, unter diesem Namen zu verstehen, was er will, so würde derselbe Satz von der Eins für Verschiedene Verschiedenes bedeuten; es gäbe keinen gemeinsamen Inhalt solcher Sätze. Einige lehnen vielleicht die Frage mit dem Hinweise darauf ab, dass auch die Bedeutung des Buchstaben a in der Arithmetik nicht angegeben werden könne; und wenn man sage: a bedeutet eine Zahl, so könne hierin derselbe Fehler gefunden werden wie in der Definition: Eins ist ein Ding. Nun ist die Ablehnung der Frage in Bezug auf a ganz gerechtfertigt: es bedeutet keine bestimmte, angebbare Zahl, sondern dient dazu, die Allgemeinheit, von Sätzen auszudrücken. Wenn man für a in a + a — a = a eine beliebige aber überall dieselbe Zahl setzt, so erhält man immer eine wahre Gleichung. In diesem Sinne wird der Buchstabe a gebraucht. Aber bei der Eins liegt die Sache doch wesentlich anders. Können wir in der Gleichung 1 + 1 = 2 für 1 beidemal denselben Gegenstand, etwa den Mond setzen? Vielmehr scheint es, dass wir für die erste 1 etwas Anderes wie für die zweite setzen müssen. Woran liegt es, dass hier grade das geschehen muss, was in jenem Falle ein Fehler wäre? Die Arithmetik kommt mit dem Buchstaben a allein nicht aus, sondern muss noch andere b, c u. s. w. gebrauchen, um Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlen allgemein auszudrücken. So sollte man denken, könnte auch das Zeichen 1 nicht genügen, wenn es in ähnlicher Weise dazu diente, den Sätzen eine Allgemeinheit zu verleihen. Aber erscheint nicht die Zahl Eins als bestimmter Gegenstand mit angebbaren Eigenschaften, z. B. mit sich selbst multipliziert unverändert zu bleiben? In diesem Sinne kann man von a keine Eigenschaften angeben; denn was von a ausgesagt wird, ist eine gemeinsame Eigenschaft der Zahlen, während 1¹ = 1 weder vom Monde etwas aussagt, noch von der Sonne, noch von der Sahara, noch vom Pic von Teneriffa; denn was könnte der Sinn einer solchen Aussage sein?	INTRODUCTION When we ask someone what the number one is, or what the symbol I means, we get as a rule the answer "Why, a thing". And if we go on to point out that the proposition "the number one is a thing" is not a definition, because it has the definite article on one side and the indefinite on the other, or that it only assigns the number one to the class of things, without stating which thing it is, then we shall very likely be invited to select something for ourselves — anything we please to call one. Yet if everyone had the rfght to understand by this name whatever he pleased, then the same proposition about one would mean different things for different people, such propositions would have no common content. Some, perhaps, will decline to answer the question, pointing out that it is impossible to state, either, what is meant by the letter a, as it is used in arithmetic; and that if we were to say "a means a number," this would be open to the same objection as the definition "one is a thing." Now in the case of a it is quite right to decline to answer: a does not mean some one definite number which can be specified, but serves to express the generality of general propositions. If, in a + a - a = a, we put for a some number, any we please but the same throughout, we get always a true identity. This is the sense in which the letter a is used. With one, however, the position is essentially different. Can we, in the identity 1 + 1 = 2, put for 1 in both places some one and the same object, say the Moon? On the contrary, it looks as though, whatever we put for the first I, we must put something different for the second. Why is it that we have to do here precisely what would have been wrong in the other case? Again, arithmetic cannot get along with a alone, but has to use further letters besides (b, c and so on), in order to express in general form relations between different numbers. It would therefore be natural to suppose that the symbol 1 too, if it served in some similar way to confer generality on propositions, could not be enough by itself. Yet surely the number one looks like a definite particular object, with properties that can be specified, for example that of remaining unchanged when multiplied by itself? In this sense, a has no properties that can be specified, since whatever can be asserted of a is a common property of all numbers, whereas 11 = 1 asserts nothing of the Moon, nothing of the Sun, nothing of the Sahara, nothing of the Peak of Teneriffe; for what could be the sense of any such assertion?
Böyle sorulara giderek pekçok matematikçinin bile doyurucu bir yanıtı hazır değildir. Gene de bilim için en açık ve görünürde böylesine yalın bir nesne için böylesine karanlıkta kalmak utandırıcı değil midir? Sayının ne olduğu konusunda ancak bu kadarı söylenebilir. Eğer büyük bir bilimin temelinde yatan bir kavram güçlükler yaratıyorsa, o zaman onu daha sağın olarak araştırmak ve bu güçlüklerin üstesinden gelmek hiç kuşkusuz o denli yadsınamaz bir görevdir; ve bu özellikle böyledir, çünkü henüz aritmetiğin bütün yapısının temelleri üzerine içgörü eksik olduğu için, negatif, kesirli, karmaşık sayılar üzerine tam bir duruluk elde etmeyi kolay kolay bekleyemeyiz.	Auf solche Fragen werden wohl auch die meisten Mathematiker keine genügende Antwort bereit haben. Ist es nun nicht für die Wissenschaft beschämend, so im Unklaren über ihren nächstliegenden und scheinbar so einfachen Gegenstand zu sein? Um so weniger wird man sagen können, was Zahl sei. Wenn ein Begriff, der einer großen Wissenschaft zu Grunde liegt, Schwierigkeiten darbietet, so ist es doch wohl eine unabweisbare Aufgabe, ihn genauer zu untersuchen und diese Schwierigkeiten zu überwinden, besonders da es schwer gelingen möchte, über die negativen, gebrochenen, complexen Zahlen zu voller Klarheit zu kommen, solange noch die Einsicht in die Grundlage des ganzen Baues der Arithmetik mangelhaft ist.	Questions like these catch even mathematicians for that matter, or most of them, unprepared with any satisfactory answer. Yet is it not a scandal that our science should be so unclear about the first and foremost among its objects, and one which is apparently so simple? Small hope, then, that we shall be able to say what number is. If a concept fundamental to a mighty science gives rise to difficulties, then it is surely an imperative task to investigate it more closely until those difficulties are overcome; especially as we shall hardly succeed in finally dearing up negative numbers, or fractional or complex numbers, so long as our insight into the foundation of the whole structure of arithmetic is still defective.

Tepe

§ 3 ... O a priori ve a posteriori, sentetik ve analitik ayrımları, benim görüşümde, yargının içeriğini değil ama yargıda bulunmanın aklanmasını ilgilendirir. Böyle bir aklamanın olmadığı yerde, o bölümlemenin olanağı da yiter. Bir a priori yanılgı öyleyse tam olarak diyelim ki bir mavi kavram gibi bir saçmalıktır. Bir önermeye benim anlamımda a posteriori ya da analitik denirse, o zaman bilinçte önermenin içeriğini oluşturmayı olanaklı kılmış olan psikolojik, fizyolojik ve fiziksel koşullar üzerine yargıda bulunulmuş olmaz; ne de bir başkasının nasıl belki de yanlışlıkla onu doğru saydığı üzerine yargıda bulunulmuştur; tersine, onu doğru saymanın aklanmasının en derin temeli üzerine yargıda bulunulmuştur.	§ 3 ... Jene Unterscheidungen von apriori und aposteriori, synthetisch und analytisch betreffen nun nach meiner*) Auffassung nicht den Inhalt des Urtheils, sondern die Berechtigung zur Urtheilsfällung. Da, wo diese fehlt, fällt auch die Möglichkeit jener Eintheilung weg. Ein Irrthum apriori ist dann ein ebensolches Unding wie etwa ein blauer Begriff. Wenn man einen Satz in meinem Sinne aposteriori oder analytisch nennt, so urtheilt man nicht über die psychologischen, physiologischen und physikalischen Verhältnisse, die es möglich gemacht haben, den Inhalt des Satzes im Bewusstsein zu bilden, auch nicht darüber, wie ein Anderer vielleicht irthümlicherweise dazu gekommen ist, ihn für wahr zu halten, sondern darüber, worauf im tiefsten Grunde die Berechtigung des Fürwahrhaltens beruht.	§ 3 ... Now these distinctions between a priori and a posteriori, synthetic and analytic, concern, as I see it,* not the content of the judgement but the justification for making the judgement. Where there is no such justification, the possibility of drawing the distinctions vanishes. An a priori error is thus as complete a nonsense as, say, a blue concept. When a proposition is called a posteriori or analytic in my sense, this is not a judgement about the conditions, psychological, physiological and physical, which have made it possible to form the content of the proposition in our consciousness; nor is it a judgement about the way in which some other man has come, perhaps erroneously, to believe it true; rather, it is a judgement about the ultimate ground upon which rests the justification for holding it to be true.
*Bununla doğallıkla yeni bir anlam getirmeyi değil, ama yalnızca daha önceki yazarların, özellikle Kant'ın demek istediğini karşılamayı istiyorum.	*) Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen, sondern nur das treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere Kant gemeint haben.	*By this I do not, of course, mean to assign a new sense to these terms, but only to state accurately what earlier writers, KANT in particular, have meant by them.
Bu yolla soru ruhbilimin alanından uzaklaştırılır ve eğer söz konusu olan matematiksel bir doğruluk ise matematiğin alanına gönderilir. Şimdi önemli olan şey tanıtlamayı bulmak ve onu geriye kök-doğruluklara dek izlemektir. Eğer bu yolda yalnızca genel mantıksal yasalar ve tanımlar ile karşılaşılırsa, o zaman elimizde analitik bir doğruluk vardır ki, bunda üzerine bir tanımın kabul edilebilirliğinin dayandığı önermelerin de dikkate alındığı varsayılır. Ama eğer genel mantıksal doğada olmayan ama tikel bir bilim alanı ile bağıntılı olan doğruluklardan yararlanmaksızın tanıtlamayı vermek olanaklı değilse, o zaman önerme sentetik bir önermedir. Bir doğruluğun a posteriori olması için tanıtlamasının olgulara başvuru olmaksızın, e.d. evrenselikten yoksun olan ve belirli nesnelere ilişkin önesürümler kapsayan tanıtlanamaz doğruluklara buşvuru olmaksızın yapılması olanaksız olmalıdır. Öte yandan eğer tanıtlamayı kendileri ne bir tanıtlamaya yetenekli ne de gereksinen bütünüyle genel yasalardan yerine getirmek olanaklı ise, o zaman doğruluk a prioridir.*	Dadurch wird die Frage dem Gebiete der Psychologie entrückt und dem der Mathematik zugewiesen, wenn es sich um eine mathemathische Wahrheit handelt. Es kommt nun darauf an, den Beweis zu finden und ihn bis auf die Urwahrheiten zurückzuverfolgen. Stösst man auf diesem Wege nur auf die allgemeinen logischen Gesetze und auf Definitionen, so hat man eine analytische Wahrheit, wobei vorausgesetzt wird, dass auch die Sätze mit in Betracht gezogen werden, auf denen etwa die Zulässigkeit einer Definition beruht. Wenn es aber nicht möglich ist, den Beweis zu führen, ohne Wahrheiten zu benutzen, welche nicht allgemein logischer Natur sind, sondern sich auf ein besonderes Wissensgebiet beziehen, so ist der Satz ein synthetischer. Damit eine Wahrheit aposteriori sei, wird verlangt, dass ihr Beweis nicht ohne Berufung auf Thatsachen auskomme; d. h. auf unbeweisbare Wahrheiten ohne Allgemeinheit, die Aussagen von bestimmten Gegenständen enthalten. Ist es dagegen möglich, den Beweis ganz aus allgemeinen Gesetzen zu führen, die selber eines Beweises weder fähig noch bedürftig sind, so ist die Wahrheit apriori.*)	This means that the question is removed from the sphere of psychology, and assigned, if the truth concerned is a mathematical one, to the sphere of mathematics. The problem becomes, in fact, that of finding the proof of the proposition, and of following it up right back to the primitive truths. If, in carrying out this process, we come only on general logical laws and on definitions, then the truth is an analytic one, bearing in mind that we must take account also of all propositions upon which the admissibility of any of the definitions depends. If, however, it is impossible to give the proof without making use of truths which are not of a general logical nature, but belong to the sphere of some special science, then the proposition is a synthetic one. For a truth to be a posteriori, it must be impossible to construct a proof of it without including an appeal to facts, i.e., to truths which cannot be proved and are not general, since they contain assertions about particular objects. But if, on the contrary, its proof can be derived exclusively from general laws, which themselves neither need nor admit of proof, then the truth is a priori.*
*Eğer herhangi bir yolda genel doğrulukları tanırsak, o zaman böyle kök-yasaların olduğunu da kabul etmek zorunda kalırız, çünkü bir yasa temelinde olmadıkça salt tekil olgulardan hiçbirşey doğmaz. İndirgemenin kendisi bu yordamın bir yasanın doğruluğunu ya da hiç olmazsa onun için bir olasılığı temellendirebileceği biçimindeki genel önerme üzerine dayanır. Bunu yadsıyanlar için tümevarım ruhbilimsel bir fenomenden daha öte birşey değildir ki, insanları bir önermenin doğruluğuna inanmaya götürse de bununla bu inancı hiçbir biçimde aklamaz.	*) Wenn man überhaupt allgemeine Wahrheiten anerkennt, so muss man auch zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen Thatsachen nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst die reduction beruht auf dem allgemeinen Satze, dass dies Verfahren die Wahrheit oder doch eine Wahrscheinlichkeit für ein Gesetz begründen könne. Für den, der dies leugnet, ist die Induction nichts weiter als eine psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass dieser Glaube dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre	*If we recognize the existence of general truths at all, we must also admit the existence of such primitive laws, since from mere individual facts nothing follows, unless it be on the strength of a law. Induction itself depends on the general proposition that the inductive method can establish the truth of a law, or at least some probability for it. If we deny this, induction becomes nothing more than a psychological phenomenon, a procedure which induces men to believe in the truth of a proposition, without affording the slightest justification for so believing.

Tepe

Frege'nin Üç Çözümleme İlkesi (Aritmetiğin Temelleri, Giriş) Bu araştırmada temel-ilkeler olarak şunlara sarıldım: [1] ruhbilimseli mantıksaldan, özneli nesnelden keskin olarak ayırmak; [2] sözcüklerin imlemini tekillikleri içinde değil ama tümce bağlamı içinde sorgulamak; [3] kavram ve nesne arasındaki ayrımı göz önünde tutmak.

Die Grundlagen der Arithmetik. Einleitung. Als Grundsätze habe ich in dieser Untersuchung folgende festgehalten: es ist das Psychologische von dem Logischen, das Subjective von dem Objectiven scharf zu trennen; nach der Bedeutung der Wörter muss im Satzzusammenhange, nicht in ihrer Vereinzelung gefragt werden; der Unterschied zwischen Begriff und Gegenstand ist im Auge zu behalten.

Burada [2] Frege yeni bir tanım getirmeyi ve "anlam"ın anlamını değiştirmeyi dener. Frege'nin sanısının tersine, sözcükler tekillikleri içinde anlamlıdır, çünkü sözcüğün anlamı anlattığı nesnenin kavramsal yapısı tarafından, içerdiği kavramların bütünlüğü tarafından belirlenir, dışsal bir gönderme tarafından değil. Öte yandan tümcenin sözdizimi tarafından anlatılan bağlam ve dilbilgisi kuralları yalnızca sık sık birden çok anlamı ya da işlevi olan sözcüklerin tümcede hangi tikel anlamda kullanıldığını belirler. Frege "kavramlar felsefeye mi yoksa matematiğe mi aittir" sorusunu getirir (§ 3). Kavramlar kendilerine aittir demek gerekir çünkü nesneldirler ve Frege'nin kendisi de kavramların salt öznel düşünceler olmadıklarını düşünür. Ama kavramlara öznelliğin yadsınması da geçersizdir çünkü Frege'nin kendisinin öznelliğinde, onun kişisel bilincinde kavramlara hiç kuşkusuz yer vardır. Kavram nesnel olduğu denli de özneldir. Frege kavram ile karıştırılmamasına dikkat edilmesi gerektiğini söylediği "tasarım/Vorstellung" kavramının öznel olduğunu söylemede haklıdır, ve "resimsel düşünceler" olarak tasarımların bu öznel karakterini ileri sürmesi ancak pozitivist bilinç için bir olay değerini taşır.

---

"Aritmetiksel doğrulukların a priori ya da a posteriori, sentetik ya da analitik doğasına ilişkin soru ..." :: "Die Fragen nach der apriorischen oder aposteriorischen, der synthetischen oder analytischen Natur der arithmetischen Wahrheiten ..." (§ 3) Örneğin uzay ve zaman ve özdek ve başka kavramlar "felsefeye mi aittirler, yoksa fiziğe mi?" Fizikte bu kavramlar çıkarsanmamış tasarımlar olarak alınır ve deneyim ve gözlem süreçlerindeki uslamlama işlemleri ile bağıntı içine getirilir. Ama bilmeyi istediğimiz şey yalnızca tasarımlar ve dışsal bağıntıları değildir. Kavramları bilmeyi isteriz ve onları bilmenin biricik yolu onları dizgesel bağıntıları içinde bilmektir. Sıradan düşünceyi, tasarımı bilgiye yükselten bu dizgesel, yöntemli, kavramsal düşünme biçimine felsefe deriz.

Tepe

Herhangi bir kitaptan:

"... mantığın konusu tümcelerin mantıksal özelliklerinden ve tümceler arasındaki mantıksal ilişkilerden oluşur. ... mantıksal özellikler ve ilişkiler mantıksal biçimler yoluyla tanımlanır; mantık ortak olan ve ayrı tümcelerden sonuçlanabilen ile ilgilenir. Mantıksal biçimler à la Russell gizemli yarı-kendilikler değildir. Dahaçok, yalnızca şemalardırlar: çeşitli türlerden oluşan şematik harfleri (yüklem, tümce ve işlev harfleri) kullanan mantıksal imlerden (standard durumda, niceleyicler ve doğruluk-işlevli bağlayıcılar) kurulu tümcelerin bileşimlerinin tasarımlarıdırlar.

"... the subject matter of logic consists of logical properties of sentences and logical relations among sentences. ... logical properties and relations are defined by way of the logical forms; logic deals with what is common to and can be abstracted from different sentences. Logical forms are not mysterious quasi-entities, à la Russell. Rather, they are simply schemata: representations of the composition of the sentences, constructed from the logical signs (quantifi ers and truth-functional connectives, in the standard case) using schematic letters of various sorts (predicate, sentence, and function letters).

"... mantığın konusu ... mantıksal ilişkilerden oluşur" dendiği zaman pozitivist bir söylem karşısında olduğumuzdan kuşku duyamayız. Burada arı usun bilimi olarak mantığın yerini "dil" üzerine sık sık kendileri de bozuk ve geçersiz tanımlardan oluşan bir öğreti alır. Tasımın ne olduğu bütünüyle belirsiz bırakılır ve bilindiği varsayılır. "Mantıksal ilişki" nedir diye sormalıyız: Örnek: "Bir R tümcesi bir S tümcesini imler, eş deyişle S R'nin mantıksal bir sonucudur." :: "A sentence R implies a sentence S, that is, that S is a logical consequence of R." Buna sık sık (belki de gerekli görüldüğü zaman) mantıksal sonucun Tarski-Quine tanımı, ya da (Tarski formülasyonunda) model-kuramsal tanımı denir: ("This is often called the Tarski-Quine definition, or (in the Tarskian formulation) the model-theoretic definition, of logical consequence.") İmleme ilişkisi "mantıksal" ilişki değildir. İmleme genel olarak ruhbilimsel bir çağrışım fenomenidir, dilde ve dilin sözlüklerinde görüldüğü gibi, onu tasarımlar arasındaki bir bağlantıyı anlatmak için kullanırız. "Mantıksal" denilen şeyin hiç olmazsa bir totolojinin ötesine, sözde analitik bir bağıntının ötesine geçerek usun bir onayını, zorunlu bir imlemenin değerini taşıması gerekirdi. Ama pozitivizm usun ve dilin kavramlarını yağmalar. Bu bağıntı içerik ile ilgisiz olmak zorundadır çünkü içerik R ve S arasında hiçbir bağıntının olmadığını dolaysızca ele verecektir. İmleme ilişkisi yalnızca R ve S imleri arasındadır, ve mantıksal olduğu söylenen bağıntı yalnızca budur. "Mantıksal" Pozitivizm gerçekten de devrimcidir ve herşeyden önce "mantık" kavramını devirir. Bu bir eleştiriye konu edilemez çünkü bilinçli olarak yapıldığı için yanlışlanmanın ötesindedir. "Önermeler kalkülüsü" denilen şeyin de normal olarak "kalkülüs" dediğimiz şey ile bir ilgisi yoktur, ama sıradan tasım işlemlerini toparlayacak bir başlık gereksinimi vardır. Biçimsel "mantık" sıradan dilin bulanıklıklarını giderecek, ve tüm içeriksizliği ile bilimlerin, örneğin baştan matematik olmak üzere fiziğin, kimyanın, biyokimyanın, tarihin, toplumbilimin, ruhbilimin vb. gerçekten "bilimsel" olmasını sağlayacaktır.

Tepe

Sayı Kavramı düşüncenin Bir ve Çok belirlenimlerini üstlenmiş olmasını gerektirir ve gene de ne Bir ne Çok sayıdır. İkisi de Niteliktir, Nicelik değil. Ancak birlikleri Nicelik kavramının ve dolayısıyla Sayı kavramının olanağıdır. Aritmetiğin mantıksal temeli Nicelik kavramını öngerektirir.

Bir kavramının mantıksal çıkarsaması onu önceleyen ve kendileri daha şimdiden çıkarsanmış kavramların işlevidir. Bir kavramı dolaysızca bağıntılı olduğu öncüllerinin terimlerinde çıkarsanmalıdır, henüz kendileri çıkarsama gereksiniminde olan kavram, nesne, uzam, ilişki vb. gibi daha yüksek kavramların terimlerinde değil.

Bir kavramı belirlidir, çünkü Birdir, ve belirliliğin kendisinin Bir ile bağdaşmadığı düzeye dek Bir kavramı kendi ile çelişki olmak zorundadır. Zenon'un paradokslarını yaratan etmen budur, çünkü Bir salt belirli olmakla kendinde olumsuza, ayrıma, bağıntıya izin verir ve kendini karşıtı olarak, Çok olarak gösterir.

Belirlenim bağıntıdır, ya da belirlenimsizlik bağıntısızlık, ilişkisizliktir. Eğer "arı olumlu"yu, saltık olarak "olumlu" olanı düşüneceksek, onu olumsuzlamamak ve sınırlamamak için ne olursa olsun tüm başkalığı soyutlamak gerekir çünkü başka herhangi birşey bir olumsuzlama, bir ayrım getirecek ve Biri ortadan kaldıracaktır. Bir salt kendisidir. Ama Bir aynı zamanda belirlidir çünkü Birdir, başka birşey değil. Birin belirlenimi Birin kendisini bozmadan ve ortadan kaldırmadan kazanılmalıdır.

Hegel'in, Zenon'un ve başka diyalektikçilerin çıkarsamaları zemininde Sayı Kavramı şöyledir:

Bir kavramı ilkin niteliktir ("sonsuz"un kavramı gibi) ve böyle olarak sayı değildir ("sonsuz" gibi). Sayı Bir ve Çok kavramlarının birliği olarak Nicelik kavramının çıkarsanmış olmasını gerektirir.

Nitel Bir (Hegel'de Kendi-için-Varlık) saltık olarak ya da ilişkisiz olarak düşünüldüğünde (başka her kavram durumunda olduğu gibi) belirlenimsizdir. Birin belirlenimi onun ilişkili (göreli) olduğunu ve olumsuzlama kapsadığını gösterir. Ama bu durumda Bir ve ayrıca bir Başkası, ya da Birden daha çoğu vardır. Bir yiter (Eleatikler). Birin olması için belirlilik zorunludur, ama belirlilik aynı zamanda Birin ortadan kalkışı, olumsuzlamaya, ayrıma, sınıra geçiştir. Bir eğer Bir olacaksa, hem belirli olmalı, hem de bu belirlilikte kendisinden başka birşey tarafından olumsuzlanmamalıdır. Birin kavramı kendi ile bağıntıdır.

Bir ancak karşıtında kendi ile ilişki içinde olduğu ya da başkalıkta kendisinde olduğu zaman Bir olma belirlenimini kazanır. Bu kendi-için-olma ya da kendi-için-Varlık Birin belirlenimi için özseldir. Ama bu Bir henüz niteliktir, nicelik değil. Bir kavramının başkası Çok kavramıdır. Bir ve Çok ya da Sürekli ve Süreksiz kavramlarının birliği Nicelik kavramına geçişi verir. Nicelik kavramı ilkin ne süreklilik olarak ne de kesiklilik olarak Sayıdır. Sayı belirli Nicelik ya da Nicedir (Quantum). Sayı kavamı Bir kavramının ve Miktar kavramının birliğidir.

n + 1 nasıl olanaklıdır?
Her sayı belirli ya da sınırlıdır. Sınır ise birşeyin ve başkasının ve Sayı durumunda bir sayının ve başka sayının birliğidir. Sınırda birşey kendisi ve başkasıdır. Sınır bir çelişkidir. Bir sayı, kendisi Sınır olarak, kendinde ya da gerçekte daha şimdiden kendi başkasıdır. Wittgensetin'ın analitik düşünme yolunun anlamadığı sayma ya da onun bir kipi olarak toplama işleminin olanağı budur. x, ÷ , ∫, √ vb. tümü de temelde + iminden türettiğimiz daha karmaşık simgelerdir.

Tepe

Sayı Dışsal Şeylerin Bir Özelliği Midir? (§ 21) "... matematiğin başlangıcını dışsal dünyanın nesnelerinin irdelemesinden aldığı düzeye dek, [Cantor] matematiğe bir deneyim bilimi der. Sayı ancak nesnelerden soyutlama yoluyla ortaya çıkar."	Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge? ".. er [Cantor] die Mathematik, eine Erfahrungswissenschaft nennt, insofern sie von der Betrachtung von Objecten der Aussenwelt ihren Anfang nehme. Nur durch Abstraction von Gegenständen entstehe die Zahl."
Cantor'un Sanısının Tersine, Sayı Renk ve Katılık ile Birarada Durmaz. (§ 24) "Böylece sayıyı renk ve katılık ile bir araya koymayı reddetmek için bir başka zemine geliriz: Daha geniş bir uygulanabilirliği vardır."	"Damit kommen wir auf einen andern Grund, die Zahl nicht mit Farbe und Festigkeit zusammenzustellen: die bei weitern grössere Anwendbarkeit."
Mill: Sayı Fiziksel Birşeydir. (§ 25) "Mill için Sayı fiziksel birşey iken, Locke ve Leibniz için yalnızca düşünceden oluşur."	"Während für Mill die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht sie für Locke und Leibniz nur in der Idee."

Cantor ve Mill'in yansıma sayı kuramlarına karşı, Leibniz ve Locke sayının öznelliğini iler sürer. Sayı Frege için nesneldir.

Frege dosdoğru usdışı olanı bile çözümlemeye ve eleştiriye değer görecek ve ona sayfalar ayıracak denli incelikli, dayançlı ve zaman savurganıdır. Frege başyapıtı Aritmetiğin Temelleri'nde "Sayı Kavramı" dediği şeyi vermeyi amaçlar. Sunduğu "Tanım" açıkça tanımlayacağı şeyi kullanan bir "Tanım"dır ve bu enteresan Tanımın bu döngüsel biçimiyle kabul edilmesinde diretir. Bu büyük bilimsel çözümlemenin dışında bütün bir kitap, bir tür karşılaştırmalı anatomi gibi, kendisinin yanlış görüşler dediği şeylerin doğru olması ve doğruluğunun saptanmış olması gereken bir ölçüt kullanılmaksızın yapılan çözümlemeleri ve karşılaştırmaları ile doludur. Şöyle: Frege, Aritmetiğin Temelleri Sayılar ve Kas Duyumları   Örneğin Stricker* sayı tasarımlarının kas duyumlarına bağımlı motor fenomenler olduğunu söylerken, matematikçi onlarda sayılarını tanıyamaz ve böyle bir önerme ile ne yapacağını bilemez. Wenn z. B. Stricker*) die Vorstellungen der Zahlen motorisch, von Muskelgefühlen abhängig nennt, so kann der Mathematiker seine Zahlen darin nicht wiedererkennen und weiss mit einem solchen Satze nichts anzufangen. When STRICKER for instance, calls our ideas of numbers motor phenomena and makes them dependent on muscular sensations, no mathematician can recognize his numbers in such stuff or knows where to begin to tackle such a proposition. *Stricker, Studien über Association der Vorstellung [Tasarımların Çağrışım Üzerine İncelemeler], Viyana 1885. Frege problemi tam olarak çözme umudundadır ("und so hoffe ich die Frage wenigstens in der Hauptsache endgiltig zu entscheiden."). Umudu umudumuz olmalıdır. Ama Frege'nin "tanıtlama" ile anladığı şey başlıca "çelişki yokluğu" ve "tanımların izlenebilirliği" gibi koşullardan oluşur.

Frege, Aritmetiğin Temelleri Frege'nin Mill'e Karşı Başarılı Uslamlamaları: Bir Sayısı ve Köpekler	Frege matematikçiler bilimlerinin özsel kavramını, Sayı Kavramının kendisini bilmediklerini, matematiğin mantıksal ve felsefi olarak temellendirilmesi gerektiğini düşünür. J.S. Mill'in görgücü "sayı kuramına" karşı tartışması etkileyicidir:
§ 31 ... Acaba [gökteki] Ayı gören bir köpek "Bir" sözcüğü ile belirttiğimiz şeyin ne denli belirsiz de olsa herhangi bir tasarımını taşıyabilir mi? Güçlükle! Ve gene de belli tekil nesneleri ayırdeder: Bir başka köpek, efendisi, oynadığı bir taş hiç kuşkusuz ona da bize göründüğü gibi sınırlı, kendi için kalıcı, bölünmemiş görünür. Dahası kendini birçok köpeğe mi yoksa bir köpeğe karşı mı savunacağı konusunda bir ayrım yapacaktır, ama bu Mill tarafından fiziksel olarak adlandırılan bir ayrımdır. Özellikle önemli olan nokta iki durumda, örneğin daha büyük bir köpek tarafından ısırıldığı bir durumda ve bir kediyi kovaladığı bir başka durumda "Bir" sözcüğü ile anlattığımız ortak öğenin ne denli bulanık da olsa bilincinde olup olmadığıdır. Bu bana olası görünmüyor. Bundan Birlik düşüncesinin, Locke'un sandığı gibi, anlağa dışımızdaki her nesne ve içimizdeki her düşünce tarafından katılmadığı, ama bizim tarafımızdan bizi hayvanlardan ayırdeden o en yüksek ansal yetiler yoluyla bilindiğini çıkarsıyorum. O zaman şeylerin böyle bölünemezlik ve sınırlanmışlık gibi hayvanlar tarafından da bizim tarafımızdan olduğu gibi ayrımsanan özellikleri kavramımızda özsel yan olamaz.	§ 31 ... Ob wohl ein Hund beim Anblick des Mondes eine wenn auch noch so unbestimmte Vorstellung von dem hat, was wir mit dem Worte „Ein“ bezeichnen? Schwerlich! Und doch unterscheidet er gewiss einzelne Gegenstände: ein andrer Hund, sein Herr, ein Stein, mit dem er spielt, erscheinen ihm gewiss ebenso abgegrenzt, für sich bestehend, ungetheilt wie uns. Zwar wird er einen Unterschied merken, ob er sich gegen viele Hunde zu vertheidigen hat oder nur gegen Einen, aber dies ist der von Mill physikalisch genannte Unterschied. Es käme darauf besonders an, ob er von dem Gemeinsamen, welches wir durch das Wort „Ein“ ausdrücken, ein wenn auch noch so dunkles Bewusstsein hat z. B. in den Fällen, wo er von Einem grössern Hunde gebissen wird, und wo er Eine Katze verfolgt. Das ist mir unwahrscheinlich. Ich folgere daraus, dass die Idee der Einheit nicht, wie Locke meint, dem Verstande durch jenes Object draussen, und jede Idee innen zugeführt, sondern von uns durch die höhern Geisteskräfte erkannt wird, die uns vom Thiere unterscheiden. Dann können solche Eigenschaften der Dinge wie Ungetheiltheit und Abgegrenztheit, die von den Thieren ebenso gut wie von uns bemerkt werden, nicht das Wesentliche an unserm Begriffe sein.	§ 31 ... Can it be that a dog staring at the moon does have an idea, however ill-defined, of what we signify by the word "one"? This is hardly credible and yet it certainly distinguishes individual objects: another dog, its master, a stone it is playing with, these certainly appear to the dog every bit as isolated, as self-contained, as undivided, as they do to us. It will notice a difference, no doubt, between being set on by several other dogs and being set on by only one, but this is what MILL calls the physical difference. We need to know specifically: is the dog conscious, however dimly, of that common element in the two situations which we express by the word "one", when, for example, it first is bitten by one larger dog and then chases one cat? This seems to me unlikely. I infer, therefore, that the notion of unity is not, as LOCKE holds, "suggested to the understanding by every object without us, and every idea within", but becomes known to us through the exercise of those higher intellectual powers which distinguish men from brutes. Consequently, such properties of things as being undivided or being isolated, which animals perceive quite as well as we do, cannot be what is essential in our concept.

Tepe

Frege, Aritmetiğin Temelleri, Birim ve Sayı
§ 37 Leibniz sayıyı 1 ve 1 ve 1 ya da birimler olarak tanımlar. Hesse şöyle der: 'Eğer cebirde 1 imi ile anlatılan birimin bir tasarımını oluşturabilirsek, ... o zaman eşit ölçüde aklanmış bir ikinci birimi ve aynı türden daha çoğunu da oluşturabiliriz. İkincinin birinci ile bir bütüne birleşmesi 2 sayısını verir.'	§ 37 Leibniz definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. Hesse sagt: „Wenn man sich eine Vorstellung machen kann von der Einheit, die in der Algebra mit dem Zeichen 1 ausgedrückt wird, ... so kann man sich auch eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art. Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen giebt die Zahl 2“.

Birim ya da Bir sayı değildir ve gene de sayı Birimlerin bir Miktarıdır. Bir bir Niteliktir ve daha tam olarak kendi-için-Varlıktır. Bir Nitelik kavramının en yüksek kipi olarak olarak aynı zamanda Niceliğe geçiş kıpısıdır. Genel olarak niceliğin belirli nicelik oluşu ne Leibniz'in, ne de Hesse'nin betimlediği gibidir. Bunlar dışsaldır, kavramsal değil. Bir kendi-için-Varlık olarak kendinde Çoktur ya da daha şimdiden çoğulluğa geçmiştir. Geçiş Leibniz'in yaptığı gibi "ve" bağlacı yoluyla dışsal olarak ya da dilbilimsel olarak değil, ya da Hesse'nin düşündüğü gibi mekanik olarak eşit ölçüde dışarıdan yer almaz. Geçiş daha şimdiden olmuştur. Birin Birim olması Birin Bir ile bağıntısıdır. Bir Bir ile bağıntısında öyle bir sınırdır ki, onda başkası olarak yalnızca kendini bulur, böylece kendi Bir olma belirlenimini yitirmez, kesiklilikte süreklilik saklanır. Birin Çokluğa (süreklinin süreksize) geçişi salt kendi mantığı ile, kendi kavramı ile yer alır. Birin Çokluğunun, ya da Birimlerin Miktarının belirlenmesi analitik bir sorundur ya da soyutlamacı dışsal anlağa aittir. Nicelerin (belirli Niceliklerin) ilişkisi ne analitik ne de sentetiktir çünkü bu kavramların doğası dışsal bağıntıyı anlatmaktır. Çözümleme ve Bireşim herhangi birşeyin başka herhangi birşey ile dışsal olarak biraraya gelmesidir. Birbirlerini karşılıklı olarak belirlemezler. Sentezin dışında, analizde de ne iseler o olarak kalırlar, analitik ya da sentetik durumları asıl belirlenimlerini bozmaz. Hidrojen su molekülünden ayrıldığı zaman hidrojen olarak kalmayı sürdürür. Ama Birim Miktardan ayrıldığı zaman Birim olmaya son verir; ya da Miktar kendinde Birim de olmaksızın Miktar olamaz. Mantıksal karşıtlık ilişkisi belirleme ilişkisidir. Analiz-sentez ilişkisi ne mantıksaldır, ne zorunludur, ne de ayrı momentlerin karakterlerini ya da belirlenimlerini belirleyicidir. Birler toplanmaz. Bunu Bir ve Birim arasındaki ayrımının sonuçlarını izleyen Frege de görmüştür.

Frege, Aritmetiğin Temelleri, Bir ve Birim
§ 45 ... Bir ve Birim arasında bir ayrım yapmak gerekir. 'Bir' sözcüğü matematiğin bir nesnesinin özel adı olarak bir çoğula yeteneksizdir. Öyleyse Sayıları Birleri biraraya toparlayarak ortaya çıkarmak saçmadır. 1 + 1'deki artı imi böyle bir biraraya toparlamayı imleyemez.	§ 45 ... Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort „Eins“ ist als Eigenname eines Gegenstandes der mathematischen Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in 1 + 1 = 2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.

Frege'nin uslamlamasını anlamak "tanımlarını" anlamayı gerektirir. Birin Çoğula yeteneksiz olduğunu düşünmek sözcüklerin olağan "anlamları" içinde kaldığımız sürece olanaksızdır. Sözcüğün anlamına ait olmayan yeni bir anlam ancak bir tanım yoluyla verilebilir. Ama bu gereksizdir çünkü yeni tanıma uygun bir sözcük ve kavram bulmak olanaklı olmalıdır. Frege birim konusunda şunları belirtir: "Örneğin kimileri "Birimler birbirlerine eşittir" derken, başkaları ise ayrı olduklarını savunur, ve iki yan da önesürümleri için kolayca bir yana atılamayacak zeminler getirir." :: "Die Einen sagen z. B.: „die Einheiten sind einander gleich“, die Andern halten sie für verschieden, und beide haben Gründe für ihre Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen." :: "For example, some hold that 'units are identical with one another,' others that they are different, and each side supports its assertion with arguments that cannot be rejected out of hand."

Frege, Aritmetiğin Temelleri (Giriş)
Örneğin kimileri "Birimler birbirlerine eşittir" derken, başkaları ise ayrı olduklarını savunur, ve iki yan da önesürümleri için kolayca bir yana atılamayacak zeminler getirir.	Die Einen sagen z. B.: „die Einheiten sind einander gleich“, die Andern halten sie für verschieden, und beide haben Gründe für ihre Behauptung, die sich nicht kurzer Hand abweisen lassen.	For example, some hold that "units are identical with one another," others that they are different, and each side supports its assertion with arguments that cannot be rejected out of hand.

Birim kavramı Miktar kavramı ile karşıtlık içinde belirlenir. Bir Miktar kavramı ile ilişkisiz olan nitel "Bir" kavramı durumunda ne Birimden ne de Sayıdan söz edebiliriz. Birim başka Birimler ile bağıntı içinde duran Birdir. Bir ve Çokun birliği olarak Nicelik kavramı kazanıldıktan sonra, Sayı olarak Bir ancak ve ancak sınırda Başkası ile, İki ile birlik ya da bağıntı içinde durduğu için sayıdır. Sınırda belirli nicelik ya da Sayı aynı zamanda kendi ötesidir çünkü sınırın kavramı birşey ve o denli de başkası olmaktır. Birin bu kendi ötesi olması "Sayma" işleminin olanağı iken, aritmetiksel Toplama (+) iminin görevi ise Birimleri Saymanın nerede duracağını göstermektir. Miktarın büyüklüğü olumsaldır, ve anlak düzlemine ait bir sorundur. Analitik düşünce Toplama işleminin gizini çözemez ve aşağıda örneğin Locke'un açıklamasında görülebileceği gibi 1 ve 1 arasındaki toplama işlemini "bir Birimin başka bir Birime katılması" olarak betimler. Ama bununla iki dışsal Birin dışsal olarak yanyana getirilmesi olarak toplama işleminin kendisini betimler, onun kavramını ya da mantığını vermez. Leibniz'in açıklaması "1 ve 1 ve 1" biçimindedir. Burada "ve" bağlacı Locke'un açıklamasındaki "katılma" gibi dışsal bir araçtır.

Frege, Aritmetiğin Temelleri
§ 37 Başka yazarlarda aynı güçlük karşımıza çıkar. Locke şöyle der: "Bir Birim düşüncesinin yinelemesi ve bir başka Birime katılması yoluyla kollektif bir düşünce oluştururuz ki, "iki" sözcüğü ile belirtilir. Ve kim bunu yapabilir ve bir sayıya ilişkin olarak taşıdığı son kollektif düşünceye bir Bir daha ekleyerek ve ona bir ad vererek ilerleyebilirse, sayabilir." Leibniz sayıyı 1 ve 1 ve 1 ya da birimler olarak tanımlar. Hesse şöyle der: "Eğer cebirde 1 imi ile anlatılan birimin bir tasarımını oluşturabilirsek, ... o zaman eşit ölçüde aklanmış bir ikinci birimi ve aynı türden daha çoğunu da oluşturabiliriz. İkincinin birinci ile bir bütüne birleşmesi 2 sayısını verir."	§ 37 Bei andern Schriftstellern stossen wir auf dieselbe Schwierigkeit. Locke sagt: „Durch Wiederholung der Idee einer Einheit und Hinzufügung derselben zu einer andern Einheit machen wir demnach eine collective Idee, die durch das Wort „zwei“ bezeichnet wird. Und wer das thun und so weitergehen kann, immer noch Eins hinzufügend zu der letzten collectiven Idee, die er von einer Zahl hatte, und ihr einen Namen geben kann, der kann zählen.“ Leibniz definirt Zahl als 1 und 1 und 1 oder als Einheiten. Hesse sagt: „Wenn man sich eine Vorstellung machen kann von der Einheit, die in der Algebra mit dem Zeichen 1 ausgedrückt wird, ... so kann man sich auch eine zweite gleichberechtigte Einheit denken und weitere derselben Art. Die Vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem Ganzen giebt die Zahl 2“.
Burada "Birim" ve "Bir" sözcüklerinin birbiri ile içinde durdukları bağıntıya dikkat etmek gerekir. Leibniz "Birim" ile altına Birin ve Birin ve Birin düştüğü bir kavramı anlar; ya da bunu şöyle de anlatır: "Birden [yapılan] soyutlama Birimdir." Locke ve Hesse Birimi ve Biri eşanlamlı olarak kullanıyor görünürler. Temelde Leibniz de aynı şeyi yapar; çünkü Bir kavramı altına düşen tekil nesnelere toplu olarak Bir derken, bu sözcüğe tekil nesneyi değil ama nesnelerin altına düştüğü kavramı bağlar.	Hier ist auf die Beziehung zu achten, in der die Bedeutungen der Wörter „Einheit“ und „Eins“ zu einander stehen. Leibniz versteht unter Einheit einen Begriff, unter den die Eins und die Eins und die Eins fallen, wie er denn auch sagt: „Das Abstracte von Eins ist die Einheit.“ Locke und Hesse scheinen Einheit und Eins gleichbedeutend zu gebrauchen. Im Grunde thut dies wohl auch Leibniz; denn indem er die einzelnen Gegenstände, die unter den Begriff der Einheit fallen, sämmtlich Eins nennt, bezeichnet er mit diesem Worte nicht den einzelnen Gegenstand, sondern den Begriff, unter den sie fallen.

Tepe

Frege, Aritmetiğin Temelleri, Küme (Menge) olarak sayı?
Küme Olarak Sayı § 28 Kimi yazarlar sayıyı bir küme, çoğulluk ya da çokluk olarak açıklarlar. Burada 0 ve 1 sayılarının kavramdan dışlanması gibi bir sıkıntı yatar. O anlatımlar bütünüyle belirsizdir: Kimi zaman "Yığın," "grup," "toplak" anlamına daha çok yaklaşırlar — ki bunda uzaysal bir birliktelik düşünülür —, kimi zaman ise hemen hemen "sayı" ile eşanlamlı olarak kullanılırlar, ama daha belirsiz olarak. Bu nedenle sayı kavramının bir çözümlemesi böyle bir açıklamada bulunamaz. ... Kimileri sayıya şeylerin ya da nesnelerin bir kümesi derler; Euklides gibi başkaları ise onu bir birimler kümesi olarak açıklarlar.	Die Anzahl als Menge. § 28 Einige Schriftsteller erklären die Anzahl als eine Menge, Vielheit oder Mehrheit. Ein Uebelstand besteht hierbei darin, dass die Zahlen 0 und 1 von dem Begriffe ausgeschlossen werden. Jene Ausdrücke sind recht unbestimmt: bald nähern sie sich mehr der Bedeutung von „Haufe,“ „Gruppe,“ „Aggregat“ — wobei an ein räumliches Zusammensein gedacht wird — bald werden sie fast gleichbedeutend mit „Anzahl“ gebraucht, nur unbestimmter. Eine Auseinanderlegung des Begriffes der Anzahl kann darum in eitler solchen Erklärung nicht gefunden werden. ... Einige nennen die Zahl eine Menge von Dingen oder Gegenständen; Andere wie schon Euklid , erklären sie als eine Menge von Einheiten.
§ 30 Leibniz "Bir anlağın Bir edimi yoluyla toparladığımızdır" derken, "Bir"i kendi kendisi yoluyla açıklar. ... Baumann aynı şeyi söyler: "Bir Bir olarak ayrımsadığımızdır;" ve dahası, "nokta olarak koyduğumuzu ya da bundan böyle bölünemez olarak koymayı istediğimizi Bir olarak görürüz; ama dışsal sezginin her bir Birini, ister arı ister görgül olsun, Çok olarak da görebiliriz. Her tasarım Birdir, eğer bir başka tasarıma karşı sınırlanmış ise; ama kendi içinde yine Çoka ayrıştırılabilir."	§ 30 Wenn Leibniz sagt: „Eines ist, was wir durch Eine That des Verstandes zusammenfassen“, so erklärt er „Ein“ durch sich selbst. ... Aehnlich sagt Baumann**): „Eines ist, was wir als Eines auffassen“ und weiter: „Was wir als Punkt setzen oder nicht mehr als getheilt setzen wollen, das sehen wir als Eines an; aber jedes Eins der äussern Anschauung, der reinen wie der empirischen, können wir auch als Vieles ansehen. Jede Vorstellung ist Eine, wenn abgegränzt gegen eine andere Vorstellung; aber in sich kann sie wieder in Vieles unterschieden werden.“
I myself was long reluctant to recognize ranges of values and hence classes, but saw no other possibility of placing arithmetic on a logical foundation. But the question is, How do we apprehend logical objects? And I found no other answer to it than this, We apprehend them as extensions of concepts, or more generally, as as ranges of values of functions. I have always been aware that there are difficulties connected with this [classes], and your discovery of the contradiction has added to them; but what other way is there? (Frege to Russell, 28.vii.1902, in McGuinness 1980, pp. 140 – 141).

Frege ilk olarak küme sayı kuramının 0 ve 1 "sayılarını" dışladığı belirtir. Gerçekte "sonsuz" denilen sayı da dışlanır. Paragraf 30'da yaptığı alıntıları bulanık bulur ve ilerleyen sayfalarda Birin şeylerin bir "özelliği" olması görüşünün imlemlerini tartışmayı sürdürür. Sonuç olarak Frege sayıların (1) şeylerin bir özelliği olduğu, (2) öznel oldukları ya da (3) kümeler oldukları biçimindeki görüşleri kabul etmez.

Frege, Aritmetiğin Temelleri

Güçlüğün Çözümü § 45 Sayı şeylerden renk, ağırlık ve sertiğin soyutlandığı yolda soyutlanmaz, şeylerin bu özellikleri anlamında bir özellik değildir. Sayı fiziksel birşey değildir, ama öznel birşey, bir tasarım da değildir. Sayı şeyin şeye eklenmesi yoluyla doğmaz. Her eklemeden sonra adlandırma da onda birşeyi değiştirmez. Çokluk, Küme, Çoğulluk anlatımları belirsizlikleri nedeniyle sayının açıklamasına hizmet etmez.

Lösung der Schwierigkeit § 45 Die Zahl ist nicht in der Weise, wie Farbe, Gewicht, Härte von den Dingen abstrahirt, ist nicht in dem Sinne wie diese Eigenschaft der Dinge. Die Zahl ist nichts Physikalisches, aber auch nichts Subjectives, keine Vorstellung. Die Zahl entsteht nicht durch Hinzufügung von Ding zu Ding. Auch die Namengebung nach jeder Hinzufügung ändert darin nichts. Die Ausdrücke „Vielheit,“ „Menge,“ „Mehrheit“ sind wegen ihrer Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen.

Frege, Aritmediğin Temelleri,Kavram: İçeriği; Uzamı
§ 29 Bir Kavramın içeriği uzamı arttıkça azalır; eğer bu ikincisi herşeyi kucaklayan bir uzam olursa, içerik bütünüyle yitip gitmelidir. Dilin nasıl hiçbir biçimde bir nesneyi daha yakından belirlemeye hizmet edemeyen bir özellik-sözcüğünü yaratmış olduğunu düşünmek kolay değildir.	§ 29 Der Inhalt eines Begriffes nimmt ab, wenn sein Umfang zunimmt; wird dieser allumfassend, so muss der Inhalt ganz verloren gehen. Es ist nicht leicht zu denken, wie die Sprache dazu käme, ein Eigenschaftswort zu schaffen, das gar nicht dazu dienen könnte, einen Gegenstand näher zu bestimmen.

Gerçekten de bu düşünülebilecek birşey değildir ve dil böyle bir özellik-sözcüğü yaratmış değildir. Sayının bir özellik olarak görülmesi onu göreli ve Şey ile bağıntılı kılar. Özellik soyut olarak düşünüldüğünde bile bir Şeyin Özelliğidir ve kendi başına kalıcı değildir. Buna karşı Sayının böyle bir Şey ile göreli olma gibi bir karakteri yoktur. Kavramın içeriği Kant'ın düşündüğü yolda Kavramın içine doldurulan görgül nesneler olmalıdır. Kavramın uzamı ise Kavramın uygulandığı görgül nesneler olmalıdır.

Tepe

Frege'nin doğru olduğunu ileri sürdüğü Sayı Kavramı şudur:

Sayı Kavramını Elde Edebilmek İçin Bir Sayı-Eşitliğinin Anlamı Saptanmalıdır. § 68 ... Buna göre şöyle tanımlıyorum: F kavramına ait olan Sayı "F kavramına eşsayılı" kavramının uzamıdır.*

Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen. § 68 ... Ich definire demnach: die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang*) des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F“

*İnanıyorum ki "kavramın uzamı" yerine yalnızca "kavram" denebilirdi. Ama buna iki yolda karşı çıkılabilecektir: 1. Bu benim tekil sayının bir nesne olduğu biçimindeki daha önceki önesürümüm ile çelişki içinde durur ki, "iki/die Zwei" gibi anlatımlarda tanımlık (Artikel) tarafından ve birlerden, ikilerden vb. çoğul olarak söz etmenin olanaksızlığı tarafından gösterildiği gibi, sayının yalnızca bir sayı bildiriminin yüklemindeki bir öğeyi oluşturması yoluyla da gösterilir; 2. kavramlar çakışmaksızın eşit uzamlı olabilir. Hiç kuşkusuz inanıyorum ki bu karşıçıkışların ikisi de karşılanabilir; ama bu bizi konudan uzaklaştıracaktır. Bir kavramın uzamının ne olduğunun bilindiğini varsayıyorum.

*) Ich glaube, dass für „Umfang des Begriffes“ einfach „Begriff“ gesagt werden könnte. Aber man würde zweierlei einwenden: 1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung dass die einzelne Zahl ein Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in Ausdrücken wie „die Zwei“ und durch die Unmöglichkeit angedeutet werde, von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie dadurch, dass die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahlangabe ausmache; 2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne zusammenzufallen. Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden können; aber das möchte hier zu weit führen. Ich setze voraus, dass man wisse, was der Umfang eines Begriffes sei.

Burada Sayı kavramının tanımı Sayı kavramının kendisini içerdiği için bu bir tanım bile değildir. Frege daha iyisini yapmaya çalışacaktır. Frege'nin sayılara ilişkin olarak söyledikleri şöyle toparlanabilir: Herhangi bir sayının belirlenmesi kavrama ilişkin bir bildirimdir. Ya da sayı bir kavrama ilişkin bir önesürümdür ve sayılar kavramlara aittir, şeylere değil (kavram nesnel olmak üzere). Sayılar nesnelere değil ama nesnelerin kavramlarına yüklenir ve böylece nesnenin değil ama kavramının bir özelliğidir. Frege'nin kuramı açıkça kavramların "özelliklerinin" olması gerektiği biçimindeki bir ön-koşul üzerine geçerli olacaktır. Sayı bir özellik değildir; ama kavramın bir özelliğidir. Frege ile polemik özel bir polemik türü geliştirmeyi gerektirecektir. Frege sık sık geçersiz saydığı görüşleri düzeltir, ama bir süre sonra bu yaptığını unutup düzelttiği şeyin ilk biçimini kendisi yeniden ileri sürer. Dahası, bu konumu sık sık kendisi görür, kabul eder, ve bütün bir durumda bir sorun görmez. § 51 Burada ekleyeceğim ki, bir kavram onun altına yalnızca tek bir şey düştüğü için bir kavram olmaya son vermez (bu şey buna göre bütünüyle onun tarafından belirlenmek üzere). 2 ve 3 ile aynı anlamda sayı olan 1 sayısı tam olarak böyle bir kavrama (örneğin Yeryüzünün uydusu) aitir. Bir kavram durumunda soru her zaman onun altına birşeyin düşüp düşmediği ve eğer düşüyorsa neyin düştüğüdür. Bir özel ad durumunda böyle sorular anlamsızdır. Dilin bir özel adı, örneğin Ay adını kavram-sözcük olarak kullanması ve tersi tarafından aldatılmamalıyız; ayrım buna karşın sürer. Bir sözcük belirsiz tanımlık ile ya da çoğul olarak kullanılır kullanılmaz, kavram-sözcüktür. § 51 Hier füge ich hinzu, dass ein Begriff dadurch nicht aufhört, Begriff zu sein, dass nur ein einziges Ding unter ihn fällt, welches demnach völlig durch ihn bestimmt ist. Einem solchen Begriffe (z. B. Begleiter der Erde) kommt eben die Zahl 1 zu, die in demselben Sinne Zahl ist wie 2 und 3. Bei einem Begriffe fragt es sich immer, ob etwas und was etwa unter ihn falle. Bei einem Eigennamen sind solche Fragen sinnlos. Man darf sich nicht dadurch täuschen lassen, dass die Sprache einen Eigennamen, z. B. Mond, als Begriffswort verwendet und umgekehrt; der Unterschied bleibt trotzdem bestehen. Sobald ein Wort mit dem unbestimmten Artikel oder im Plural ohne Artikel gebraucht wird, ist es Begriffswort. Frege'nin kavram ile anladığı şey Yeryüzü, Ay vb. gibi görgül fiziksel nesnelerdir. Frege'nin Sayı Kavramı böyle fiziksel şeyleri bir bileşen olarak kapsayacaktır. § 53 Bir kavrama yüklenen özellikler ile doğallıkla kavramın bileşimine giren karakteristikleri anlamıyorum. Bu sonuncular kavramın altına düşen şeylerin özellikleridir, kavramın değil. Böylece "dik açılı" "dik açılı üçgen" kavramının bir özelliği değildir; ama dik açılı, doğru çizgili, eşit kenarlı üçgen yoktur önermesi "dik açılı, doğru çizgili, eşit kenarlı üçgen" kavramının bir özelliğini bildirir; ona sıfır sayısı yüklenir. Bu bağıntıda varoluş sayı ile benzerlik taşır. Aslında varoluşun doğrulanması sıfır sayısının yadsınmasından başka birşey değildir. Varoluş kavramın özelliği olduğu için, Tanrının varoluşunun varlıkbilimsel tanıtlaması hedefine erişemez. Ama teklik de varoluş gibi "Tanrı" kavramının karakteristiği değildir. § 53 Unter Eigenschaften, die von einem Begriffe ausgesagt werden, verstehe ich, natürlich nicht die Merkmale, die den Begriff zusammensetzen. Diese sind Eigenschaften der Dinge, die unter den Begriff fallen, nicht des Begriffes. So ist „rechtwinklig“ nicht eine Eigenschaft des Begriffes „rechtwinkliges Dreieck“; aber der Satz, dass es kein rechtwinkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck gebe, spricht eine Eigenschaft des Begriffes „rechtwinkliges, geradliniges, gleichseitiges Dreieck“ aus; diesem wird die Nullzahl beigelegt. 65 In dieser Beziehung hat die Existenz Aehnlichkeit mit der Zahl. Es ist ja Bejahung der Existenz nichts Anderes als Verneinung der Nullzahl. Weil Existenz Eigenschaft des Begriffes ist, erreicht der ontologische Beweis von der Existenz Gottes sein Ziel nicht. Ebensowenig wie die Existenz ist aber die Einzigkeit Merkmal des Begriffes „Gott“. Frege'nin "dik açılı, doğru çizgili, eşit kenarlı üçgen" kavramının "sıfır sayısı" gibi bir özelliğinin olduğunu belirttiğini gözden kaçırmamak yeterlidir. Bu tür anlatımlar kendi değerlerini dolaysızca sergiledikleri için, bu işi bir kez daha yapma girişimi gereksiz olacaktır. Sıradan bilincin niçin peygamberlik kanıtı olarak böyle usdışı tansıklar beklediğini düşünebiliriz. Frege "aritmetiğin mantıktan çıkarsanması" dediği şeyin temelinde sayı kavramının görgül nesnelerin kavramından bu çıkarsanışı yatar. Bu Frege'nin reddettiğini söylediği yöntemden, görgücülüğün genel olarak düşünceleri, kavramları çıkarsama yolundan başka birşey değildir.

Frege, Aritmetiğin Temelleri, IV. Sayı Kavramı (IV Der Begriff der Anzahl)

IV. Sayı Kavramı Her Tekil Sayı Bağımsız Bir Nesnedir. § 55. Sayı bildiriminin bir kavrama ilişkin bir önesürüm kapsadığını öğrendikten sonra, tekil sayıların 0 ve 1'in tanımlarının verilmesi yoluyla Leibnizci tanımlarını tamamlamaya çalışabiliriz. Pekala şöyle tanımlanabilir: 0 sayısı bir kavrama eğer altına hiçbir nesne düşmüyorsa aittir. Ama burada 0'ın yerine eşanlamlı "hiçbir" geçmiş görünür; bu nedenle şu söz dizimi yeğlenebilir: 0 sayısı bir kavrama aittir, ama ancak a ne olursa olsun a bu kavramın altına düşmez önermesi evrensel olarak geçerli ise. Benzer olarak şöyle de denebilir: 1 sayısı bir F kavramına aittir, ama ancak a ne olursa olsun eğer a F altına düşmez önermesi evrensel olarak geçerli değilse, ve eğer "a F altına düşer" ve "b F altına düşer" önermelerinden a ve b'nin aynı oldukları sonucu evrensel olarak doğuyorsa. Gene de geriye bir sayıdan hemen sonrakine geçişi genel olarak açıklamak kalmaktadır. Şu söz dizimini deneyelim: (n + 1) sayısı F kavramına aittir, ama ancak F altına düşen ve n sayısının "F altına düşen, ama a olmayan" kavramına ait olacağı bir yolda oluşmuş bir a nesnesi varsa. § 56. Bu açıklamalar kendilerini önceki sonuçlarımıza göre zoraki olmaktan öylesine uzak gösterirler ki, bizim için niçin yeterli olamayacakları konusunda bir açıklama vermek gerekecektir.

IV. Der Begriff der Anzahl. Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand. § 55. Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthält, können wir versuchen, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und der 1 zu ergänzen. Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn kein Gegenstand unter ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der 0 das gleichbedeutende „kein“ getreten zu sein; deshalb ist folgender Wortlaut vorzuziehen: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen Begriff falle. In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl 1 zu, wenn nicht allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter F falle, und wenn aus den Sätzen „a fällt unter F“ und „b fällt unter F“ allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind. Es bleibt noch übrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F kommt die Zahl (n + 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter F fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe „unter F fallend, aber nicht a“ die Zahl n zukommt. § 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bisherigen Ergebnissen so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht genügen können.

Bir yanda her bir sayının bağımsız ya da kendine-bağımlı bir nesne olduğu görüşü, öte yanda bir sayının bir nesnenin yüklemi ya da özelliği olduğu, bir sayı bildiriminin içeriğinin bir kavrama ilişkin bir önesürüm olduğu görüşü, bunların her ikisi de Frege tarafından ileri sürülür.

Frege, Aritmetiğin Temelleri Hume'un ilkesi, bire-bir karşılık düşme / eindeutige Entsprechung / one-to-one correspondence

§ 63 Böyle bir araçtan Hume daha önce söz etti: "İki sayı birinin her zaman ötekinin her birimine karşılık düşen bir biriminin olduğu bir yolda bileştirildiğinde eşit olduklarını bildiririz." Sayıların eşitliğinin bire-bir karşılık-düşme aracılığıyla tanımlanması gerektiği görüşü yakın zamanlarda matematikçiler arasında yaygın onay bulmuş görünür. Ama ilkin sınama olmaksızın üzerinden geçmemiz gereken mantıksal kuşkular ve güçlükler yaratır.

§ 63 Ein solches Mittel nennt schon Hume: „Wenn zwei Zahlen so combinirt werden, dass die eine immer eine Einheit hat, die jeder Einheit der andern entspricht, so geben wir sie als gleich an.“ Es scheint in neuerer Zeit die Meinung unter den Mathematikern vielfach Anklang gefunden zu haben, dass die Gleichheit der Zahlen mittels der eindeutigen Zuordnung definirt werden müsse. Aber es erheben sich zunächst logische Bedenken und Schwierigkeiten, an denen wir nicht ohne Prüfung vorbeigehen dürfen.

Nicel eşitliğin bire-bir karşılık düşme koşuluna bağlı olduğu görüşü bir düşüncesizliktir çünkü uzamlı büyüklüklerin dışında yeğin büyüklükler vardır. Ayrıca Hume'un sözünü ettiği türde "birleşen" sayılar gerçekte sayılar değil ama görgül ya da daha iyisi fiziksel cisim kümeleridir. Ama buna karşın bir çizgi üzerindeki noktaların başka bir geometrik şekil üzerindeki noktalar ile "karşılaştırılması" gibi saçmalıklardan söz edildiğini duyarız, çünkü görgül bilincin görgül pergel-cetvel geometrisi için nokta "boyutsuz olan" değil ama herşeye karşın fiziksel bir parçacık gibi birşeydir. (Pergel-cetvel geometrisi gibi bir kurgu geometrik uzayı fizikselleştiren Einstein ve izleyicileri tarafından tam bir ciddiyetle savunulur.) "Hume'un İlkesi" olarak adlandılan bu enteresan karşılık düşme ilkesi gerçekte "eşit sayılar eşittir" demekten öteye varmazken, tam olarak bu "analitik" ya da sözde "mantıksal" karakteri nedeniyle Frege'nin çağdaşları olan Cantor ve Schröder tarafından kabul edilmiştir. Frege bu nicel eşitlik ilişkisinin salt uzamlı nicelikler arasındaki eşitlikten başka bir anlamının olduğunu gördü.

Tepe

Analitik gelenek için uçucu olmayan bir anlam yoktur çünkü olmaması gerekir. Kavram salt insan bilincindeki öznel bir kurgu olduğuna göre, o da bilincin tüm içeriği gibi nesnel bir belirlenim olmamalıdır çünkü böyle kavramsal bir nesnellik metafizik olacaktır. Mantık da bir insan kurgusu olduğuna ve nesnel Logos gibi birşey olmadığına göre, Mantığın da plastik birşey olması, çağlara, kültürlere, kişilere göre değişmesi gerekir, tıpkı Schönberg'in müzikte evrenselliiği ve ideali kabul etmeyen ve bir insanın öznel duyarlığını tüm güzellik belirlenimi üzerinde yetke yapan göreciliği için olduğu gibi. Böyle irrasyonalizme karşı klasik felsefe klasik olan için bir arayıştır çünkü gerçeklik klasiktir. Leibniz de gerçek mantık kavramını arayanlar arasındaydı, ve ona yaklaştı.

Leibniz

Tepe

Aristoteles sonsuzun çelişkili belirlenimini açımlar:

1) Sonsuz bir yandan sonun olumsuzlanması, sürekli öteye geçiş, sürekli ilerlemedir. Bu kötü sonsuz ya da nicel sonsuzdur, her zaman sonludur. Anaximander'de Apeiron ya da Cantor'da sonlu-ötesi sayılar sonlunun yalnızca sonluda kalan olumsuzlamalarını anlatır. Apeiron sınırsız ya da belirsizdir, ama sonsuz değil, çünkü sonsuz sonun olumsuzlaması olarak olumsuzlanacak bir sonu, bir sınırı gerektirir. Belirsizlik ya da sınırsızlık sürekli ilerleme olarak kötü sonsuz, e.d. sonludur. Cantor'un sonlu-ötesi sayıları ise kendileri birer öte taşıdıkları için dolaysızca sonludurlar. Aristoteles'e göre böyle "sonsuz" gerçek ya da edimsel sonsuz değil, ama "kendinde" ya da gizil sonsuz, sonsuzun olanağıdır.

"Çünkü genel olarak sonsuz öyle bir varoluş kipindedir ki, bir şey her zaman bir başkasından sonra alınır ve alınan her bir şey her zaman sonlu ama her zaman ayrıdır." (Aristoteles, Fizik, Kitap 3, Bölüm 6.)

Artış açısından gizil olarak sonsuz bir diziye örnek olarak, 1, 2, 3, ... ile başlayan dizide bir sayı her zaman bir başkasından sonra eklenebilir, ama daha fazla sayı ekleme süreci bitirilemez ya da tamamlanamaz. Bölme ya da azalış açısından gizil olarak sonsuz bir dizinin örneği 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, ... dizisidir. Süreç tamamlanamaz.

"Bölme sürecinin hiçbir zaman bir sona ulaşamaması bu etkinliğin gizil olarak varolduğunu gösterir, sonsuzun ayrı olarak varolduğunu değil." (Aristoteles, Metafizik, Kitap 9, Bölüm 6.)

2) Öte yandan gerçek sonsuz bir nicelik değil ama bir niteliktir. Sonsuzluk ilkin sonlunun olumsuzlamasıdır. Ama olumsuzlama sonsuzu göreli ya da ilişkili ve böylece sonlu yapar. Sonsuzun sınırlanmaması için sınırın sınır olmayan bir sınır olması gerekir. Başka bir deyişle, sonsuzluk sınırda başkası ile değil ama kendi ile karşılaşmayı, başkalıkta kendisi ve kendisinde olmayı gerektirir.

Tepe

Infinitum actu non datur, edimsel sonsuz yoktur.

Her sürekli sonsuza dek bölünebilir. Kötü sonsuz. Nokta çizginin bir parçası, genel olarak parça değildir çünkü bölünemez.

Ex indivisibilibus non potest constare aliquod continuum,süreklilik bölünemezlerden oluşamaz.

Tepe

Bernard Bolzano (1781–1848)

Küme (Menge) terimini ilk kullanan Bolzano bu kötü ya da gizil sonsuz kavramını kabul etmemesine karşın kendisi de sonluyu sonsuz olarak ileri sürer: "Her sonlu çokluktan daha büyük olan bir çokluğa, e.d. her sonlu kümeyi yalnızca bir parçası olarak alma özelliği olan bir çokluğa bir sonsuz çokluk diyeceğim." (Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre. s. 6.)

Bernard Bolzano (1781-1848) was a Czech philosopher, mathematician, and theologian whose ideas about sets and infinity both influenced and anticipated Cantor.  He says (Paradoxes of the Infinite 1851, § 3) that a set is "a whole consisting of certain parts" or "a system (Inbegriff) of certain things".  The idea of a set is given by one of the "simplest conceptions of our understanding", namely by the meaning of the word and when we say "The sun, the earth, and the moon act upon one another," "The rose, and the conception of a rose, are two very different things". 

 

But we must add that every arbitrary object A can be combined in a system with any others B, C, D, …, or (still speaking more correctly) already forms a system [an aggregate] by itself [without our intervention – an sich selbst schon] i.e. the combination of A with B, C, D … already forms a system [an aggregate], of which some more or less important truth can be enunciated, provided only that each of the presentations A, B, C, D, … in fact represents a different object, or in so far as none of the propositions 'A is the same as B,' 'A is the same as C,' 'A is the same as D,' etc., is true.  For if e.g. A is the same as B, then it is certainly unreasonable to speak of a system [an aggregate] of the things A and B.

 

Firstly: "Nowhere can an infinite set exist", they say, "for the simple reason that an infinite set can never be united to form a whole, never be collected together in thought."  I must stigmatise this assertion as a mistake, and as a mistake engendered by the false opinion that a whoe consisting of certain objects a, b, c, d, … cannot be constructed in thought unless one first forms separate mental representations [Vorstellungen] of its separate component objects.  This is by no means true.  I can thnk of the set, of the aggregate, or if you prefer it, the totality, of the inhabitants of Prague or of Peking without forming a separate representation of each separate inhabitant.  § 21 (Ewald p. 258)

Tepe

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918)

"Accordingly I distinguish an eternal uncreated infinity or absolutum which is due to God and his attributes, and a created infinity or transfinitum, which has to be used wherever in the created nature an actual infinity has to be noticed, for example, with respect to, according to my firm conviction, the actually infinite number of created individuals, in the universe as well as on our earth and, most probably, even in every arbitrarily small extended piece of space. (G. Cantor [3, p. 399; 8, p. 252])"

Modern meta-Mathematics banished the very words "potential" and "actual" from its lexicon and proclaimed G.Cantor's set theory as a "naive" theory just because G.Cantor too explicitly, too long, and too unconvincingly tryed to prove a logical legitimacy of the Actual Infinity usage in Mathematics. (BAĞLANTI)

Tepe

"The numbers are a free creation of human mind. (R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? p. III)"

Dedekind-sonsuz: Matematikte bir A kümesi Dedekind-sonsuzdur, eğer A'nın bir uygun alt-kümesi A ile eşsayılı ise. Belirtik olarak, bu A'dan A'nın bir uygun alt-kümesi üzerine bijective (bire-bir karşılık düşmeli) bir fonksiyonun olması demektir. Bir küme eğer Dedekind-sonsuz değilse Dedekind-sonludur. :: In mathematics, a set A is Dedekind-infinite (named after the German mathematician Richard Dedekind) if some proper subset B of A is equinumerous to A. Explicitly, this means that there is a bijective function from A onto some proper subset B of A. A set is Dedekind-finite if it is not Dedekind-infinite.

Dedekind bir nitelik kategorisi olan Sonsuzu sayısallaştırmaya çalışmaktadır. Yapmayı istediğini anlaması olanaksız olsa da, inanması pekala olanaklıdır.

İki A ve B kümesi eş-sayılıdır (equinumerous), eğer aralarında bire-bir karşılık düşme (bijection) varsa, e.d. eğer A'dan B'ye B'nin her y öğesi için tam olarak A'nın bir x öğesinin olacağı yolda bir f(x) = y fonksiyonu varsa. :: In mathematics, two sets A and B are equinumerous if there exists a one-to-one correspondence (a bijection) between them, i.e. if there exists a function from A to B such that for every element y of B there is exactly one element x of A with f(x) = y.[1]

Frege sayı "tanımında" eş-sayılılık kavramını, sayının kendisini kullanır.

Enteresan bir önerme: "If the axiom of choice holds, then a set is infinite if and only if it includes a countable infinite subset." "Sayılabilir sonsuz alt-küme" belirtik olarak usdışı bir uydurmadır. Sonsuzu bir küme olarak görmek bir nitelikten bir nicelik yapmayı gerektirir.

Tepe

Hegel (1870-1831)

§ 102
Nice gelişimini ve tamamlanmış belirliliğini Sayıda bulur. Sayı, öğesi olan Bir gibi, kesiklilik kıpısına göre Miktarı, süreklilik kıpısına göre Birimi nitel kıpıları olarak kendi içinde kapsar.

Aritmetikte işlem türleri genellikle Sayıları ele almanın olumsal yolları olarak sunulur. Eğer bu işlemlerde bir zorunluğun ve böylece bir anlamın yatması gerekiyorsa, bu bir ilkede olmalıdır, ve bu ilke ancak Sayı Kavramının kendisinde kapsanan belirlenimlerde yatıyor olabilir; bu ilkenin burada kısaca gösterilmesi gerekir. — Sayı Kavramının belirlenimleri Miktar ve Birim, ve Sayının kendisi ikisinin birliğidir. Ama Birim, görgül Sayılara uygulandığında, yalnızca onların Eşitliğidir; böylece işlem türlerinin ilkesi Sayıları Birim ve Miktar ilişkisine koymak ve bu belirlenimlerin Eşitliğini ortaya çıkarmak olmalıdır.

Birler ya da Sayıların kendileri birbirlerine karşı ilgisiz oldukları için, içerisine alındıkları birlik genel olarak dışsal bir toparlama olarak görünür. Hesaplama öyleyse genel olarak Saymadır, ve hesap yapma türlerinin ayrımı yalnızca biraraya toplanan Sayıların nitel yapısında yatar, ve yapı için ilke Birim ve Miktar belirlenimleridir.

Numaralandırma ilktir —, genel olarak Sayı yapma, istediğimiz çoklukta Birin toparlanması. — Bir hesap türü ise bundan böyle yalnızca Birlerin değil ama daha şimdiden Sayılar olan kendiliklerin birlikte sayılmasıdır.

Sayılar dolaysızca ve ilk olarak bütünüyle belirsiz genelde Sayılardır, ve öyleyse genel olarak eşitsizdirler; biraraya toparlanmaları ya da sayılmaları Toplamadır.

Hemen sonraki belirlenim Sayıların genel olarak eşit olmaları ve böylece tek bir Birim oluşturmalarıdır, — ve bunların belli bir Miktarı önümüzde bulunur; böyle Sayıları saymak Çarpmadır. Burada Miktar ve Birim belirlenimlerinin çarpma işlemindeki iki Sayı ya da etmen arasında nasıl dağıldığı, hangisinin Miktar, hangisinin Birim olarak alındığı ilgisizdir.

Üçüncü ve son belirlilik Miktar ve Birimin eşitliğidir. Böyle belirlenmiş Sayıları biraraya sayma Üsse yükseltmedir — ve ilkin kareye. — Daha yüksek bir Üsse yükseltme biçimsel açıdan yine Sayının kendi kendisi ile belirsiz bir miktarda sürdürülen çarpımıdır. — Bu üçüncü belirlenimde [Sayıda] bulunan biricik ayrımın, Miktar ve Birim ayrımının tam eşitliğine erişildiği için, bu üç işlem türünden daha çoğu olamaz. — Birarada toparlanmaya Sayıların yine o aynı belirliliklere göre çözülmesi karşılık düşer. Buna göre, yukarıda değinilen ve o düzeye dek olumlu denebilecek işlem türlerinin yanında bir de üç olumsuz işlem türü vardır.

Tepe

Aristoteles'e göre (Metafizik 1081 a14) Platon sayıları monas ve belirsiz duas kavramlarından türetir. Belirsiz duas ya da ikilik büyüğün ve küçüğün bir ikiliğidir (Met. 987 b20-22). "(Sayının) özdeği olarak büyüğü ve küçüğü ilkeler olarak koyar, töz olarak biri; çünkü birin onlarla karışımı yoluyla sayıların doğduğunu söyler."

Ve "Platon'un iki sonsuzu vardır, Büyük ve Küçük." (Aristoteles, Fizik, Kitap 3, Bölüm 4.)

Tepe

The first known English use was in 1598.
Yunanlılar ve Romalılar matematiklerinde sıfır kullanmadılar.

Tepe

Transfinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers, yet not necessarily absolutely infinite.

Sonulunun ötesi sonludur. Cantor'un adlandırması yalnızca kavramsız bilinçte bir yanılsama yaratır. Sonlunun karşıtı sonsuzdur. Nicelik alanında sonlunun ötesi her zaman yeni bir sonlu iken, nitelik alanında sonlunun ötesi bir ilerleme değildir ama nitel bir değişimi, nitel bir başkalığı imler.

Sonsuzluk, nicel olarak düşünüldüğünde, sonlunun süreksizliğinden ya da kesikliliğinden oluşur (Zenon'un sonsuza bölme süreci). Burada edimsel olarak sonsuza ulaşmak olanaksızdır. Bir olanağın yokluğu bir olgunun yokluğudur çünkü olgu olanağında olgudur.

Tepe

Georg Cantor was wrong about infinity. Greatest Mistake in History True Infinity explained

Infinity - boundless endless = ∞
Mathematics/universe - bound end = ()

Cantor said ( ∞ )
Greatest Oxymoron in existence

Cantor did find something, however it is not Actual infinity.

What he found:
The infinite possibilities within the core of our numerical system, the Number 1.

ALL types of numerical expressions, be it fractions, decimal points, percentages, whole numbers etc are different ways of expressing this one number. Hence, 
What Cantor perceived to have found = ( ∞ ), an infinite restricted by time and space
What Cantor actually found = ( 1 ). 

Now to what I found about the number 1 in finite. (1)
There are many ways to express mathematics, but what is the core?
x, ÷ , √ , Etc are grouped and fancy symbols explaining the only two symbols. + and  -.
Every mathematical expression can be explain by these two symbols.
Remembering maths is finite, this numeric 1 is comprised of or subject to 

( + | - )
This is Theory of Everything.
Except.......

Quantum Mechanics states for nothing to create something, laws must be in place for nothing to produce something.

How do you explain this. Easy....

+ ( + | - )
This is the link between Quantum Mechanics and Gravitational Physics.

Even a law however is not nothing, but something. It is an action and must proceed an entity.

1 + ( + | - )

What is 1 added onto finite or 1 added onto Mathematics as the equation shows.

It is ∞.
1 + ( + | - ) = ∞
The Actual True infinity

This means
If we add 1 onto finite addition itself, we have infinite positive and respectively 1 added onto subtraction itself, infinite negative
1 + (+) = + ∞ 
1 + (-) = - ∞ 

Religiously what does this mean?

God (1) created (+) everything ((+|-)) and after judgement day (=), depending on our free will choices, we could end up in either heaven ( + ∞) or hell ( - ∞ ). BAĞLANTI

Tepe

"In mathematics, the axiom of choice, or AC, is an axiom of set theory equivalent to the statement that the cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty."

Tepe

HILBERT
"We are not speaking here of arbitrariness in any sense. Mathematics is not like a game whose tasks are determined by arbitrarily stipulated rules. Rather, it is a conceptual system possessing internal necessity that can only be so and by no means otherwise."
p. 14 in Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhauser (1992).

Bu sözlerine karşın, Hilbert belitleri keyfi kurgular olarak aldı, ve belit doğasında olmayan belitler üretti.

WEYL
"What "truth" or objectivity can be ascribed to this theoretic construction of the world, which presses far beyond the given, is a profound philosophical problem. It is closely connected with the further question: what impels us to take as a basis precisely the particular axiom system developed by Hilbert? Consistency is indeed a necessary but not a sufficient condition. For the time being we probably cannot answer this question …"
Weyl 1927 Comments on Hilbert's second lecture on the foundations of mathematics in van Heijenoort 1967:484. Although Weyl the intuitionist believed that "Hilbert's view" would ultimately prevail, this would come with a significant loss to philosophy: "I see in this a decisive defeat of the philosophical attitude of pure phenomenology, which thus proves to be insufficient for the understanding of creative science even in the area of cognition that is most primal and most readily open to evidence – mathematics" (ibid).

Tepe

Frege "kavramları" yazmayı istedi. Ama kavramlar daha şimdiden sözcüklerde yazılıdır. Frege'nin "yazmayı" istediği kavramlar örneğin nitelik, öz, biçim, ya da özdek, yasa, uzay, doğa, tin gibi kavramlar olarak bildiğimiz kavramlar değildi. Frege'nin "kavram yazımı" ya da "kavram notasyonu" nicelik kavramlarının yazımı da değildi. Yalnızca belli simgeleri ve aralarındaki ilişkileri anlatan bir çizim yöntemi idi. "Begriffschrift" adlandırmasının Frege'nin yaptığı şey ile hiçbir ilgisi yoktu. Bu işleme yine bütünüyle uygunsuz bir yolda "mantık" dendi ve daha sonra "önermeler kalkülüsü" adı kullanılmaya başladı.

Tepe

David Hume bu sürrealist temellere dayanarak metafiziği ateşe atar. Metafizik ile anladığı şey dünyanın deneyimden türetilmeyen düşünceler yoluyla bilinmesidir. Görgücü yöntemi ile "düşüncelerin (ideas)" öznel ansal yapılar olduğunu saptadığına göre, bu öznelliklerin ontolojik bir imlemleri olmadığı sonucunu çıkarır. "Bu ilkelere inanarak kütüphaneleri taradığımız zaman neleri yakıp yıkmalıyız? Eğer örneğin elimize tanrıbilimden ya da okul metafiziğinden herhangi bir kitabı alırsak, şunu soralım: Niceliği ya da sayıyı ilgilendiren herhangi bir soyut uslamlama kapsıyor mu? Hayır. Olgu ve varoluş sorununu ilgilendiren herhangi bir deneysel uslamlama kapsıyor mu? Hayır. O zaman onu alevlere atın: Çünkü sofistlik ve yanılsamadan başka birşey kapsayamaz." "When we run over libraries, persuaded of these principles, what havoc must we make? If we take in our hand any volume; of divinity or school metaphysics, for instance; let us ask, Does it contain any abstract reasoning concerning quantity or number? No. Does it contain any experimental reasoning concerning matter of fact and existence? No. Commit it then to the flames: For it can contain nothing but sophistry and illusion. — İnsan Anlağını İlgilendiren Bir Soruşturma / An Enquiry Concerning Human Understanding (1748), Section 12 : Of the Academical or Sceptical Philosophy Pt. 3.

Tepe

"Us tutkuların kölesidir ve yalnızca öyle olması gerekir, ve hiçbir zaman onlara hizmet etmekten ve boyun eğmekten başka bir görev ileri süremez." "Reason is, and ought only to be the slave of the passions, and can never pretend to any other office than to serve and obey them." — İnsan Doğası üzerine Bir İnceleme, (1739-40) Kitap II, Bölüm III (İstenç ve Doğrudan Tutkular), Kesim IVI / A Treatise of Human Nature, Book II, Part III (Of the will and direct passions), Section IVI "Us tutkuların kölesidir, hiçbir zaman onlara hizmet etmekten ve boyun eğmekten başka bir görev ileri süremez." Tam olarak Usun olmaması gereken şey budur, üstelik sık sık usun tutkulara yeni dtüşmesine karşın. Hume'un uslamlamasına göre, insanın "duyunç" gibi bir yetisi yoktur. Ve "us tutkuların kölesidir" sözlerine hiç kuşkusuz onun kendisi adına hak vermek gerekir. Bu onun için doğrudur ve gerçekten de usundan çok tutkularının, beyninden çok kilolarının konuşmakta olduğu olgusunu kabul etmektedir ve bunu çürütemeyiz. Ama özgürlük insana bu tutkulara kölelik problemini çözmek için verilmiştir. İnsan doğruyu ve eğriyi ayırdetme gibi bir doğa-üstü ayrıcalığa iyedir. Ancak hayvan iyinin ve kötünün ötesindedir çünkü duyunç gibi, istenç gibi bir yetisi yoktur. Tutkular vb. taşımak ve onların gücü karşısında durmak, ve istenç taşımak ve salt istenç taşıdığı için özgür olmak, — bu ikisi insanı moral bir varlık yapan karşıtlığı oluşturur. Hayvanın içgüdüleri vardır, ve yalnızca içgüdülerine boyun eğmekle özgürlüğe ve dolayısıyla moral belirlenime ilgisizdir. Doğa-zorunluğundan davranır. Eğer suçsuzluk diye birşeyin olduğunu düşünüyor ve onu nerede bulabileceğimizi soruyorsak, hayvan suçsuzdur. İçgüdüler kendinde kötü değildir ve doğaya aittir. Doğa iyinin ve kötünün ötesinde, ya da daha doğrusu iyinin ve kötünün gerisinde olandır. İnsan doğadan daha çoğudur, Tindir. İçgüdü insan doğasının parçasıdır, ve insan Doğanın ve Tinin birliği olduğu için içgüdü insanın insanlığına aittir. Ama içgüdü iyi ve doğru olan ile, duyunç ile çatışabilir, ve her zaman doğal içgüdüye boyun eğmek açıktır ki hayvanlıktır. Tutkunun ereği "iyi" gibi görünür. Ama zaman zaman "kötü" olabilir ve o zaman us ve özgürlük ile, duyunç ile davranmak "iyi" olur. Bu 'seçme özgürlüğü' ya da 'özenç' ya da 'keyfi istenç' denilen şey de değildir, çünkü insanın iyiyi seçmeme özgürlüğü gibi paradoksal birşey yoktur. Duyunç, eğer varsa, eğer gelişmişse, insan için iyi ve doğru olanı seçmek zorundadır. Ama bu zorunluk özgürlük dediğimiz şeydir. Duyuncun doğası, ussallığı budur. Sözde metaetik denilen görgücü kuramın yanıtlaması gereken sorunun, "İnsan niçin iyi olanı istesin?" sorusunun yanıtı duyuncun doğasında yatar: İnsan iyiyi salt iyi olduğu için ister, başka bir nedenle değil. Çünkü içgüdünün, tutkunun, alışkanlığın vb. sonucu olarak kötü olandan kaçınma özgürlüğü vardır. İnsan kendi için kötü olanı isteyemez. İnsan mantıksal pozitivistlerin sandığı gibi hayvansal ya da ruhbilimsel zorunluk ile davranmaz. Bu dürtüsel, itkisel, bilinçsizdir. Us, istenç olarak, ya da kimilerinin "kılgısal us" dediği şey olarak eylemini belirleme özgürlüğünü, onun için iyi olanı yapma özgürlüğünü taşır. Us özgürlük alanında tam olarak duyunç dediğimiz yeti olarak işler. Usun tutkulara köleliği her zaman tutku ve duygularının kölesi olan sıradan insanlık için bütünüyle doğrudur. Çünkü bu tinsel olarak geri insanlık ne tarihteki yerini bilir, ne gerçek tinsel doğasını, ne de neyin iyi ve doğru ve haklı olduğunu. Onun için iyi, doğru, ve haklı olan aşağı yukarı her zaman duygularına, eğilimlerine, alışkanlıklarına vb. uygun düşendir. Bu insanlık moral olarak büyümekte olan insanlıktır, ve büyümekte olması henüz moral olarak büyümemiş olduğu, henüz özgür olmadığı, henüz duyunçsuz olduğu anlamına gelir. Ve böyle olarak iyiyi ve kötüyü ayırdedemediği için değil ama tam olarak aynı nedenle, iyiyi ve kötüyü ayırdedemediği için suçludur. Suçsuzluk suçluluğun olumsuzlanmasından başka birşey değildir ve zorunlu olarak onu kapsar. Böyle moral olarak geri insanlık öncelikle bütün bir tarihi boyunca sık sık kendi doğasına, kendi özüne karşı döner ve kendini yok eder. Henüz doğal yanını tinsel yanına, ussal yanına altgüdümlü kılmayı bilmediği için, sorunlarını saldırgınlık ve zorbalık ve şiddet yoluyla çözmeyi bilir. Savaşır. Bütün bir tarihi boyunca kendini kendi düşmanı olarak görür ve kendini yok etmeye doymuş görünmez. Bu geri insanlık henüz haktanır olmayı, türeli olmayı, duyuncunu doğal duygularının üzerine koymayı bilmez. Henüz uygar değildir.

 

Tepe

Nihilizm insanın ussal özünün yadsınmasıdır ve insanın ussal bir varlık olduğunu kabul edemeyen bilinç için nihilizmden, varoluşun anlamsız ve insanın saçma olduğu öğretisinden başka bir vargıya ulaşmak düşüncesizliktir. David Hume'un kendisi böyle bir nihilist değildi. Hemen aşağıdaki sözlerinde okuduğumuz gibi, felsefesi onu kuşkunun, insana güvensizliğin çılgınlığına doğru sürüklediği zaman, usunun yapamadığını doğa yapıyor, onu içine düşmek üzere olduğu delilikten kurtarıyordu. "Hayvan inancı," duyuların söylediğine inanç varoluşun anlam ve değerini sağlıyordu. Onları dinleyerek öncelikle yemek yiyor, sonra tavla oynuyor ve dostları ile sohbet ediyordu. David Hume'un kuşkucu irrasyonalizmi bütün bir nihilizmin de çıkış noktasıdır, ama Hume nihilizme ve çıldırmaya izin vermez, çünkü yaşamda değerler olduğuna inanır. David Hume nihilizmi ileri sürmedi. Yaşama anlam veren 'içgüdüsel' değerlerin olduğuna inanıyordu ve böyle "inanç" ona yeterli idi. İnancı bilgi ile bir değildi ve görgücülüğünün ona göstermesi gereken nihilistik vargıları çıkarmadı. Bu düşünme emeğini gerektirir. O tutkuları, alışkanlık ve eğilimleri ile yaşamayı sürdürdü. Ahlakın haz ve acı ilkeleri üzerine dayandığını söyledi ve bununla bir ahlak felsefesi değil ama bir ahlaksızlık felsefesi geliştirmek için temelleri attığının bilincinde olmayacak denli düşüncesizdi. Bu irrasyonalist işi daha sonra Nietzsche ve Schopenhauer gibi nihilistler ve pesimistler, Sartre ve Heidegger gibi fenomenolojist varoluşçular yerine getirdi. Viyana Çevresi pozitivistleri sözde pozitif, sağın, görgül bilimler ile igilendiler. Ahlak, törellik, hak, estetik gibi kavramların yalancı-kavramlar olduğunu düşüdükleri için bir iki önemsiz deneme dışında konu ile uğraşmadılar. Olmadığını düşündükleri şeyi yok etmeyi gereksiz görerek doğa bilimlerinin yok edilmesi için çabaladılar. David Hume'un nedensellik kavramının ruhbilimsel bir alışkanlık yapısı olduğu görüşü mantıksal olarak "töz," "özdek," giderek "Ben" gibi şeylerin varolmadığı gibi daha öte görgücü çıkarsamalar ile birlikte gider. Yirminci yüzyılda mantıksal pozitivistler Hume'un sıradan bilinç felsefesinde derin bir bilgelik ve bilimin gerçek temelleri bulduklarını ileri sürdüler. Sıradan bilincin hoşuna giden budur çünkü sıradanlık gerçeklik üzerine son söz ise o zaman onun da bir felsefesi, "ordinary language philosophy" olacaktır. Mantıksal olguculuk ya da mantıksal görgücülk onun felsefesini yeniden ısıtmaktan daha çoğunu yapmadı. Görgücülük ilkin Anglo-Saxon dünyanın bir tür ulusal ve yerel felsefesi olmanın ötesine geçmedi. Ama kendisi bir tür bilimsel nihilizm olan pozitivizm yirminci yüzyılın nihilizm, materyalizm, varoluşçuluk, fenomenoloji, hermeneutik gibi usdışı dünya görüşlerinin yanına katılmada gecikmedi. Ama burada çok inceltilmiş ve metafiziksel düşüncelerin üzerimizde ya çok az etkileri vardır ya da hiç yoktur mu dedim? Bu görüşü geri almaktan ve şu anki duygu ve deneyimimden çıkarak suçlamaktan kaçınamıyorum. İnsan usundaki bu çelişkiler ve eksiklikler karmaşasının yeğin görüşü üzerimde öylesine etkili oldu ve beynimi öylesine kızıştırdı ki, tüm inanç ve uslamlamayı yadsımaya hazırım ve hiçbir görüşe giderek bir başkasından daha olası ya da olabilir diye bile bakamıyorum. Neredeyim, ya da neyim? Varoluşumu hangi nedenlerden türetirim, ve hangi duruma geri döneceğim? Kimin iyiliğini elde etmeye çalışayım, ve kimin öfkesinden korkmalıyım? Hangi varlıklar kuşatır beni, ve kimin benim üzerimde etkisi ve benim kimin üzerinde etkim vardır? Tüm bu sorularla kafam karıştı, ve kendimi imgelenebilecek en acıklı durumda, en koyu karanlık tarafından kuşatılmış ve her örgen ve yetinin kullanımından bütünüyle yoksun bırakılmış duymaya başlıyorum. Ne mutlu ki, us bu bulutları dağıtmaya yeteneksizken, doğanın kendisi bu amaç için yeterlidir, ve ya bu kafa eğilimini gevşeterek ya da küçük bir oyalanma ile ve duyularımın tüm bu kuruntuları gideren diri izlenimi ile beni bu felsefi melankoli ve sabuklamadan kurtarır. Yemek yerim, bir tavla oynarım, sohbet ederim, ve dostlarımla mutluyumdur; ve üç dört saatlik eğlenceden sonra, bu kurgulara geri döndüğüm zaman bunlar öylesine soğuk, gergin ve saçma görünürler ki, içimden onlara daha öte girmek gelmez. But what have I here said, that reflections very refin’d and metaphysical have little or no influence upon us? This opinion I can scarce forbear retracting, and condemning from my present feeling and experience. The intense view of these manifold contradictions and imperfections in human reason has so wrought upon me, and heated my brain, that I am ready to reject all belief and reasoning, and can look upon no opinion even as more probable or likely than another. Where am I, or what? From what causes I derive my existence, and to what condition shall I return? Whose favour shall I court, and whose anger must I dread? What beings surround me? and on whom have I any influence, or who have any influence on me? I am confounded with all these questions, and begin to fancy myself in the most deplorable condition imaginable, inviron’d with the deepest darkness, and utterly depriv’d of the use of every member and faculty. Most fortunately it happens, that since reason is incapable of dispelling these clouds, nature herself suffices to that purpose, and cures me of this philosophical melancholy and delirium, either by relaxing this bent of mind, or by some avocation, and lively impression of my senses, which obliterate all these chimeras. I dine, I play a game of back-gammon, I converse, and am merry with my friends; and when after three or four hour’s amusement, I wou’d return to these speculations, they appear so cold, and strain’d, and ridiculous, that I cannot find in my heart to enter into them any farther. — İnsan Doğası üzerine Bir İnceleme, (1739-40) Kitap I, Bölüm III (KUŞKUCU FELSEFE DİZGESİ VE BAŞKALARI), Kesim VII / A Treatise of Human Nature, Book I, Part III (Of the sceptical and other systems of philosophy), Section VII

Tepe

Genel olarak kavramsal bağıntı Mantıktır ve dizgenin yapısını belirler. Dizge zorunlu bileşenlerin bütünü olarak baştan sona mantıksaldır. Platon'un ve Aristoteles'in felsefeleri de kendilerinde dizgeseldir. Hegel'in felsefesi bu dizgeselliği tamamlamaya ve belirtik kılmaya çalışır.

Analiz: Bir kavramın çözümlemesi söz konusu olduğunda onun kendisinden daha çoğu olduğu düşünülür. Bir kavram salt kendisidir, ve analizin sonunda ulaşması gereken yalın öğe kavramın kendisinden başka birşey değildir. Kavram salt kendisi olmakla dolaysız, içeriksiz, saltık, yalın, soyuttur. Ama bu kavramın anlak ya da derin-düşünme tarafından anlaşılmasının biçimidir. Ama bu biçimde ne bağıntı ne de içerik vardır. Bu nedenle bu analitik biçim ile ilgili olarak bir mantıktan bile söz edemeyiz. Bu düzeye dek "bir kavramın içeriği" ya da "içerimi" anlatımının kendisi mantıksal değil ama tasarımsaldır.

Dizge. Analitik kavram ya da Kant'ın anlak-kategorisi dediği şey salt belirli olduğu için kendi olumsuzu ile bağıntı olduğunu gösterir. Bu yalın olarak diyalektik dediğimiz mantıksal devimdir. Olumlunun dolaysızlık vb. olmasına karşın, olumsuz olan saltık olarak iki kıpının ilişkisidir ve bu karşıtlık ilişkisinin kendisi Hegel'in "kurgul" dediği birlik kıpısına, olumsuzlamanın olumsuzlaması yoluyla yeniden olumluya, ama yeni bir olumluya götürür. Mantıksal dizgeyi oluşturan devim bu mantıksal süreçtir. Eğer kavramın zorunlu dizgesel bağıntılarını onun içeriği olarak göreceksek, o zaman kavram onun çıkarsanması sürecinde kapsanan tüm momentleri belirtik olarak, ve kendisinden çıkarsanacak tüm momentleri örtük olarak kapsar.

Mantıksal olmak analitik olmak mıdır?
"Birçok felsefeci mantık, matematik ve felsefenin çoğunun savlarının görünürde zorunluğunun ve a priori konumunun bu savların analitik olmalarına bağlı çıkacağını umudetmiştir ..." :: "Many philosophers have hoped that the apparent necessity and a priori status of the claims of logic, mathematics and much of philosophy would prove to be due to these claims being analytic ..." (KAYNAK)

Böyle kavramsız anlatımları kavramın deviminin ışığında irdeleyerek neyi kaçırdıklarını görebiliriz. Yukarıdaki satırlar "zorunlu" ve "a priori" sözcüklerini analitik olma ile bağlamaya çabalar.

"Analitik" olmanın a priori olmak ve zorunlu olmak ile ilgisi nedir? Doğal bilinç "mantık" üzerine en küçük bir biçimde düşünmez, tıpkı başka her kavram üzerine de düşünmediği gibi. "Doğallığı" ile anlatmak istediğimiz bu düşüncesizlikten başka birşey değildir. Mantıksal olmak ussal olmaktır, ve yalnızca zorunluğa indirgenmesi bir düşüncesizliktir. Özgürlük de mantıksaldır, ve olasılık, olumsallık, şans gibi kavramların zorunluğu dışlamaları onların mantıksal olmadıklarını ya da mantıktan dışlanmaları gerektiğini göstermez. Ama "çelişki" kavramının mantıktan atılması isteminde bulunan analitik felsefeciler bile vardır.

Analitik olmak sentetik olmak, ve sentetik olmak analitik olmaktır. Senztez ya da bireşim yalnızca genel olarak birlikteliği anlatır. Herhangi bir sözlüğe bakarsak, sentez "the process of putting two or more things, concepts, elements, etc., together to form a whole" olarak tanımlanır. Kimya, geometri, yaşambilim vb. "sentez" sözcüğünü bu genel semantiği içinde doğru olarak kullanır. Giderek düşüncelerin, önermelerin, sözcüklerin vb. sentezinden de söz edebiliriz. Leibniz öznenin analizinden söz etti ve yüklemin öznede kapsanabileceğini ve bu durumda önermenin analitik olduğunu söyledi. Kant bu yaklaşımı felsefsinin özeğine alma noktasına dek abarttı. Leibniz'in şöyle bir bildirimi vardır:

"Her doğru olumlu önermede, ister zorunlu ister olumsal, ister evrensel isterse tikel olsun, yüklemin kavramı belli bir yolda öznenin kavramında içerilir. Praedicatum inest subjecto; yüklem öznededir; bunun dışında, doğruluğun ne olduğunu bilmiyorum." :: "In every true affirmative proposition, whether necessary or contingent, universal or particular, the notion of the predicate is in some way included in that of the subject. Praedicatum inest subjecto; otherwise I do not know what truth is.” (G II 56 / L 337)

Leibniz'in yaklaşımı baştan sona gereksiz ve gerçekte yanlıştır. Önermede özne ve yüklem arasındaki ilişkinin analitik (eş deyişle sentetik) olmasının önermenin doğruluk ya da yanlışlığının ölçütü yapmak "doğruluğu" analitik olmak ile eşitlemeye götürür. Yine, Leibniz'in analitik olmayı özdeşliğe indirgediğine dikkat edersek, niçin özdeşliği doğruluk ile eşitlemek zorunda kaldığını anlayabiliriz. Bu durumda özdeşliğin karşıtı olan çelişki yanlışlık olacak, ama analitiğin karşıtı olarak sentetik belli bir manevra ile yanşıl olmaktan bağışlanacak ve en kötüsünden olumsal olacaktır.

A = A ya da özdeşlik ilkesi Leibniz'in kişisel düşünme biçiminde birincil önemdedir.

Bir önerme durumunda, özne ve yüklem arasındaki "analitik" ilişki önermenin doğruluğunu, ve analitik olmama yanlışlığını gösterir. Bu sözcüğün tam anlamıyla analitik felsefenin ilkesi olarak geçerli olabilecek bir konumdur. Diyalektik mantık bir önermenin hem doğru hem de yanlış olabileceğini kabul eder, ve bunu ilk olarak analitik olanın sentetik de olduğunu, çelişkinin doğru değil ama gerçek olduğunu, var olduğunu bildirerek yapar.

Çelişki hiç kuşkusuz soyutlamacı anlak mantığı için doğru değildir, ve bu anlak mantığı olgular ve görüngüler dünyasında, dil alanında, semantik bağıntılar düzleminde bütünüyle geçerlidir. Orada A = A, bir bitki bir bitki, bir şey bir şeydir vb.

Tepe

5. Logical-metaphysical principles (spring-summer 1689?)
[1643-8. Latince. Samtliche schriften und briefe (ed. Akademie der Wissenschaften, Berlin: Akademie Verlag, 1923-.)
The Shorter Leibniz Texts, Continuum, 2006, s. 48-9.]

"Primary truths are those which express the same thing of itself, or deny the opposite of its opposite, such as A is A, or A is not not-A. If it is true that A is B, it is false that A is not B, or that A is not-B. Likewise, each thing is what it is, each thing is like itself or is equal to itself, nothing is greater or less than itself, and others of this kind which, although they may have their own degrees of priority, nevertheless can all be covered by the one name of 'identities'.

Moreover, all remaining truths are reduced to primary truths by the help of definitions, i.e. through the resolution of concepts, in which consists a priori proof, independent of experience. I shall give as an example a proposition accepted as axiomatic by mathematicians and all others alike: the "whole is greater than its part, or a part is less than the whole, which is very easily demonstrated from the definition of 'less' or 'greater', with the addition of the primitive axiom, the one of identity. For the 'less' is that which is equal to a part of another ('greater') thing, which is certainly a definition very easy to understand and is consistent with the practice of the human race, when men compare things to each other, and find the excess by taking away something equal to the lesser from the greater. Hence we get this sort of argument: a part is equal to a part of the whole (namely to itself, since by the axiom of identity each thing is equal to itself). But what is equal to a part of the whole is less than the whole (by the definition of 'less'). Therefore a part is less than the whole.

Therefore the predicate or consequent is always in the subject or antecedent, and the nature of truth in general, i.e. the connection between the terms of a proposition, consists in this very thing, as Aristotle has also observed. And indeed, in identities this connection and inclusion of the predicate in the subject is explicit, whereas in all other truths it is implicit and must be shown through the analysis of concepts, on which a priori demonstration is founded.

Moreover, this is true of every affirmative truth, universal or particular, necessary or contingent, and in the case of both an intrinsic and extrinsic denomination. And here lies hidden a wonderful secret in which is contained the nature of contingency, or the essential difference between necessary and contingent truths, and through which the difficulty about the fatal necessity of things, even those which are free, is removed.

From these things, which are insufficiently considered because of their very great obviousness, there follow many things of great importance, for from this there at once arises the accepted axiom, nothing exists without a reason, or there is no effect without a cause. Otherwise there would be a truth which could not be proved a priori, i.e. which could not be resolved into identities, which is contrary to the nature of truth, which is always either explicitly or implicitly identical. It also follows from this that when everything in one part of the data is the same as in another part, then everything will also be the same on both sides in what is sought, i.e. in the consequences, because no reason can be given for a difference, which must be sought from the data. And a corollary, or rather an example of this, is Archimedes' postulate at the beginning of his book on equilibrium,25 that when the arms of a balance and the weights placed on each side are equal, everything is in a state of equilibrium. Hence there is a reason even for eternal things. If we imagine that the world has existed from eternity, and that there have been only globes in it, a reason must be given why there should be globes rather than cubes.

Tepe

Leibniz's work on formal logic

Leibniz's work on formal logic

The principles of the logic

 

of Leibniz, and consequently of his whole philosophy, reduce to two:

1. All our ideas are compounded of a very small number of simple ideas which form the alphabet of human thought
2. Complex ideas proceed from these simple ideas by a uniform and symmetrical combination which is analogous to arithmetical multiplication.

With regard to the first principle, the number of simple ideas is much greater than Leibniz thought; and, with regard to the second principle, logic considers three operations -- which are now known as logical multiplication, logical addition, and negation -- instead of only one.

Characters were, with Leibniz any written signs, and "real" characters were those which -- as in the Chinese ideography -- represent ideas directly, and not the words for them. Among real characters, some simply serve to represent ideas, and some serve for reasoning. Egyptian and Chinese hieroglyphics and the symbols of astronomers and chemists belong to the first category, but Leibniz declared them to be imperfect, and desired the second category of characters for what he called his universal characteristic. It was not in the form of an algebra that Leibniz first conceived his characteristic, probably because he was then a novice in mathematics, but in the form of a universal language or script. It was in 1676 that he first dreamed of a kind of algebra of thought, and it was the algebraic notation which then served as model for the characteristic.

Leibniz attached so much importance to the invention of proper symbols that he attributed to this alone the whole of his discoveries in mathematics. And, in fact, his infinitesimal calculus affords a most brilliant example of the importance of, and Leibniz's skill in devising, a suitable notation.

Tepe

Universal Characteristic and Calculus ratiocinator

What is usually understood by the name "symbolic logic", is what Leibniz called a Calculus ratiocinator and is only a part of the Universal Characteristic. In symbolic logic Leibniz enunciated the principal properties of what we now call logical multiplication, addition, negation, identity, class-inclusion, and the null-class; but the aim of Leibniz's researches was, as he said, to create "a kind of general system of notation in which all the truths of reason should be reduced to a calculus. This could be, at the same time, a kind of universal written language, very different from all those which have been projected hitherto; for the characters and even the words would direct the reason, and the errors -- excepting those of fact -- would only be errors of calculation. It would be very difficult to invent this language or characteristic, but very easy to learn it without any dictionaries". He fixed the time necessary to form it: "I think that some chosen men could finish the matter within five years"; and finally remarked: "And so I repeat, what I have often said, that a man who is neither a prophet nor a prince can never undertake any thing more conducive to the good of the human race and the glory of God".

In his last letters he remarked: "If I had been less busy, or if I were younger or helped by well-intentioned young people, I would have hoped to have evolved a characteristic of this kind"; and: "I have spoken of my general characteristic to the Marquis de l'Hôpital and others; but they paid no more attention than if I had been telling them a dream. It would be necessary to support it by some obvious use; but, for this purpose, it would be necessary to construct a part at least of my characteristic; -- and this is not easy, above all to one situated as I am".

Leibniz thus formed projects of both what he called a characteristica universalis, and what he called a calculus ratiocinator it is not hard to see that these projects are interconnected, since a perfect universal characteristic would comprise, it seems, a logical calculus. Leibniz did not publish the incomplete results which he had obtained, and consequently his ideas had no continuators, with the exception of Lambert and some others, up to the time when Boole, De Morgan, Schröder, MacColl, and others rediscovered his theorems. Frege remarked that his own symbolism is meant to be a calculus ratiocinator as well as a lingua characteristica.

Tepe

To this end, he proposed two concepts, which were to be employed in this calculation: the characteristica universalis, which was to be a kind of conceptual language, able to symbolically represent concepts of mathematics, science, and metaphysics alike, consisting of what he called real characters, capable of directly corresponding to an idea, embodying it in the way a number embodies the idea of quantity, as opposed to merely referring to it, as words do; and the calculus ratiocinator, a system or device used to perform logical deductions within the framework set by the characteristica. It is not precisely clear whether Leibniz intended for the ratiocinator to be an actual machine -- after all, Leibniz was one of the pioneers of mechanical calculation machines with the construction of the Stepped Reckoner --, or merely an abstract calculus, a forerunner to modern symbolic logic -- whether it was software or hardware, so to speak.

Tepe

Biçimsel Mantık denilen şeyin içerik ile ilgisiz olması gerekir. Kavramın biçimsel yanı oluşturması gerekirken, içerik ile anlaşılan şey duyusal ya da sözde sezgisel olandır. Bu tasarımlara göre içeriksiz kavram kendini duyular yoluyla gelen özdeksel gereç ile doldurur. Ama Kant'ın bu açıklama yolu geçersizdir.

İçeriğin kendisi bir kavramdır.

Kavramı biçim olarak düşünürsek, içerik nereden gelecektir? Kavramın bağıntılarını fiziksel, uzaysal, dışsal vb. bağıntılar olarak tasarımlamamalıyız. Kavramın karşıtı ile bağıntısı dediğimiz şey gerçekte kavramın kendi olumsuzu da olmasını anlatır. Kavram karşıtı ile birdir, ya da daha iyisi, kavram o denli de kendi karşıtıdır. Özne Yüklemin karşıtıdır, onunla bir simge vb. yoluyla bağlanmaz ama onu kendisinde kapsar ya da onunla birdir. Kavramın karşıtında kendi kendisi ile bu bağıntısı onu açındıran mantıksal yandır ve bu bağıntıların analitik-diyalektik-kurgul karakteri kavramı bir dizge olarak yapılanmaya götürür. Bu düzeye dek bütün bir dizge biçimsel kavramın içeriğidir, ve kavramın kendi yöntemi tarafından belirlenen bir mantıksal açınım ya da gelişim kavramın içeriğini kavramın kendisi ile ilişkilendirmenin ölçütünü verir: Belirli bir kavramı oluşturan içerik kavramın belirtik içeriği, ve o noktadan sonraki açınım kavramın örtük içeriği olarak görülebilir.

Tepe

ÇIKARSAMA, ÇÖZÜMLEME, KAPSAMA

KAVRAMDA-YÜKLEM İLKESİ (!) Leibniz'in özdeşlik ilkesinin kavramda-yüklem ilkesi (Predicate-in-Notion Principle / PIN) olarak da anlatıldığı düşünülür. Ama bu düşünce yarı geçerlidir çünkü "yüklem" "kavram" ile değil ama "özne" ile ilişkilidir. Leibniz kendisi bu ayrımı gözden kaçırmayacak denli dikkatlidir ve Arnauld'a bir mektubunda şöyle yazar: "Her doğru olumlu önermede, ister zorunlu ister olumsal, ister evrensel isterse tikel olsun, yüklemin kavramı belli bir yolda öznenin kavramında içerilir. Praedicatum inest subjecto; eğe böyle değilse, doğruluğun ne olduğunu bilmiyorum." :: "In every true affirmative proposition, whether necessary or contingent, universal or particular, the notion of the predicate is in some way included in that of the subject. Praedicatum inest subjecto; otherwise I do not know what truth is.” (G II 56 / L 337) This interest will continue throughout his life. In The Art of Combinations a philosophical method is proposed. "Analysis is as follows. Let any given term be resolved into its formal parts, that is, let it be defined. Then let those parts be resolved into their own parts, or let definitions be given of the terms of the (first) definition, until (one reaches) simple parts or indefinable terms." Tepe

Tepe

"Bir önerme aynı zamanda hem doğru hem de yanlış olamaz, ve öyleyse A A'dır ve B olamaz." :: “A proposition cannot be true and false at the same time, and that therefore A is A and cannot be not A.” (G VI 355 / AG 321)

Leibniz için bu bakış açısından bir önermenin doğruluğu öznesinin kendi ile özdeşliğinden oluşur ve Leibniz için bu özdeşlik aynı zamanda tanıtlama ilkesidir. Öznenin yüklem ile özdeşliği hiç kuşkusuz salt bir totoloji verirken, öznenin yüklemi içermesi biraz daha ayrı bir ilişki biçimidir. Buna karşın Leibniz "içerme" ilişkisini de özdeşlik başlığı altına alır, böylece belirli özneyi ve belirli yüklemi özdeşleştiriyor görünür, ki "kapsama" ve "özdeşliğin" özdeş olması kadar geçerlidir:

Düşüncenin Birinci Yasası denilen şey budur. Buna aynı zamanda "Çelişkinin Yadsınması" yasası da denebilir. Özdeşlik ve Çelişki kavramlarının ontolojik ilgisi birşeyin karşıtının o şeyi ortadan kaldırması olgusuna dayanır. Bu düzeye dek özdeşlik ilkesi varlığı doğrularken, birşeyin karşıtı ile ilişkisi olarak çelişki ilkesi o şeyin yokluğunu doğrulayacaktır.

“What we agree with leaves us inactive, but contradiction makes us productive.”  ― Johann Wolfgang von Goethe

Özdeşlik kavramı, Türkçe kökeninin de gösterdiği gibi, özsel birliği, aynı özü taşımayı anlatır. Aynılık, eşitlik, benzerlik ayrı kavramlardır.

Tepe

Leibniz şeylerin ayrımını ne olursa olsun şeylerin kendilerine bağlar, dışsal nedenlere değil. Örneğin yalın olmalarına karşın iki monadı birbirinden ayırdeden şey uzaysal-zamansal belirlenimleri değil ama her birinin yalın olan doğasının kendisi olmalıdır. Yeni Denemeler'de Leibniz bu noktayı özellikle vurgular:

"Zaman ve yerin (e.d. dışarda yatan ile ilişkilerin) salt kendilerine gönderme ile kolayca ayıramayacağımız şeyleri bizim için ayerdetmelerine karşın, şeyler gene de kendilerinde ayırdedilebilirdir. Böylece, şeylerdeki türlülüğe zaman ya da yer ayrımı eşlik etse de, zamanın ve yerin şeylere ayrı durumlar dayattıkları için özdeşliğin ve türlülüğün özünü oluşturmaları söz konusu değildir. Buna eklenebilir ki bir zamanı ya da yeri bir başkasından şeyler aracılığıyla ayırdetmeliyiz, evrik olarak değil." :: "Although time and place (i.e., the relations to what lies outside) do distinguish for us things which we could not easily tell apart by reference to themselves alone, things are nevertheless distinguishable in themselves. Thus, although diversity in things is accompanied by diversity of time or place, time and place do not constitute the core of identity and diversity, because they [sc. different times and places] impress different states upon the thing. To which it can be added that it is by means of things that we must distinguish one time or place from another, rather than vice versa." (A VI vi 230 / RB 230)

"Ve inanıyorum ki doğada yalnızca monadlar vardır ve başka herşey onlardan doğan fenomenlerdir." (Pierre Dangicourt'a Mektuptan, 1716.) Monadların türlülüğünü oluşturan etmen ne olabilir?

Tepe

Leibniz'e göre sürekliliğin bozulması özdeşliğin bozulması, ayrım, türlülük olacaktır. Ama özdeşlik bozulmaz, dolayısıyla sıçrama, geçiş, başkalaşım olanaksızdır. Yeni Denemeler'e Önsözde şunları yazar: "Hiçbirşey birden bire yer almaz, ve doğanın hiçbir zaman sıçramalar yapmadığı ben büyük ve en iyi doğrulanan düzgülerimden biridir." :: “Nothing takes place suddenly, and it is one of my great and best confirmed maxims that nature never makes leaps.” (A VI vi 56 / RB 56)

Bu ilkeye göre tüm değişim derecelidir, salt bir nicelik sorunudur, ve nicelik ve nitelik arasında aşılmaz bir duvar vardır. Leibniz örneğin hiçbir devimin tam bir dinginlik durumundan doğamayacağını ileri sürer ve "ayrımsanabilir algılar ayrımsanamayacak denli küçük algılardan dereceli olarak doğar" der. (“noticeable perceptions arise by degrees from ones which are too minute to be noticed.”) (aynı yer).

Bu görüş özdeşlik ilkesinin vargısıdır.

Tepe

3. Language and Mind

Some scholars have suggested that Leibniz should be regarded as one of the first thinkers to envision something like the idea of artificial intelligence (cf. Churchland 1984; Pratt 1987). Whether or not he should be regarded as such, it is clear that Leibniz, like contemporary cognitive scientists, saw an intimate connection between the form and content of language, and the operations of the mind. Indeed, according to his own testimony in the New Essays, he “really believe[s] that languages are the best mirror of the human mind, and that a precise analysis of the signification of words would tell us more than anything else about the operations of the understanding” (bk.III, ch.7, sec.6 (RB, 333)). This view of Leibniz's led him to formulate a plan for a “universal language,” an artificial language composed of symbols, which would stand for concepts or ideas, and logical rules for their valid manipulation. He believed that such a language would perfectly mirror the processes of intelligible human reasoning. It is this plan that has led some to believe that Leibniz came close to anticipating artificial intelligence. At any rate, Leibniz's writings about this project (which, it should be noted, he never got the chance to actualize) reveal significant insights into his understanding of the nature of human reasoning. This understanding, it turns out, is not that different from contemporary conceptions of the mind, as many of his discussions bear considerable relevance to discussions in the cognitive sciences.

Tepe

17. yüzyılda mantık hem akademik bir disiplin hem de biçimsel bir bilim olarak temelde Aristoteles'in tasım öğretisi ile çakışıyordu. Leibniz'in mantıksal düşünceleri de büyük ölçüde tasım kuramı ile ilişkili idi, ama çok daha güçlü olacağını düşündüğü bir "EVRENSEL KALKÜLÜS" kurmayı amaçlıyordu. Bu kalkülüs hangi biçimsel çıkarsamaların mantıksal olarak geçerli olduğunu belirlemeye hizmet edecekti. Dahası, Leibniz "evrensel karakteristik" dediği bir mantıksal düzenek yoluyla mantıksal kalkülüsü keyfi (bilimsel) önermelere uygulayarak bunların olgusal doğruluklarını salt mekanik bir yolda "hesaplayabileceğini" umuyordu. Bu iyimser düşünce şu ünlü pasajda anlatım buldu:

"Eğer bu yapılırsa, ne zaman çekişmeler doğacak olsa iki felsefeci arasında ancak iki matematikçi arasında olduğu kadar tartışma gereksinimi olacaktır. Çünkü kalemleri ele alıp birbirlerine (ve eğer dilerlerse ayrıca yardıma çağrılan bir dosta) 'Haydi hesaplayalım/Calculemus' diyerek abaküsün başına oturmak yeterli olacaktır." :: "Quo facto, quando orientur controversiae, non magis disputatione opus erit inter duos philosophos, quam inter duos Computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere sedereque ad abacos, et sibi mutuo (accito si placet amico) dicere: Calculemus." :: "If this is done, whenever controversies arise, there will be no more need for arguing among two philosophers than among two mathematicians. For it will suffice to take the pens into the hand and to sit down by the abacus, saying to each other (and if they wish also to a friend called for help): Let us calculate." (GP 7, 200.)

Tepe

Hegel, Büyük Mantık Bilimi, "Saltık Yöntem" bölümü:

"Bu, şeyleri kendilerinde ve kendileri için irdelemek, Platon’un bilme etkinliğinden istediği şeydir: Bir yandan onları evrensellikleri içinde irdelemek, ama öte yandan onlardan saparak durumlara, örneklere ve karşılaştırmalara sarılmamak, tersine yalnızca onları önüne almak ve onlara içkin olanı bilince çıkarmak. — Saltık bilmenin yöntemi bu düzeye dek analitiktir." Ama analizin gerçeği sentetik olmasıdır çünkü analitik olan ister dolaysız olarak düşünülsün ister evrensel olarak, kendinde olumsuzlama kapsar, dolaylıdır ve tikeldir. Hegel'i izlemeyi sürdürürsek, yöntem "o denli de sentetiktir, çünkü dolaysızca yalın bir evrensel olarak belirlenmiş olan nesnesi, dolaysızlığının ve evrenselliğinin kendisinde taşıdığı belirlilik yoluyla, kendini bir başkası olarak gösterir." Analitik düşünme ya da daha iyisi analitik felsefe analizde durup kaldığı için analitiktir. Ama analitik olan saltık olarak yalıtılmış, soyut olarak dolaysız, ilişkisiz, bağıntısız değildir. Analitik olanın bağıntılı olması onun sentetik olmasıdır. Ama işin gerçeği Mantıkta bu bağıntının dışsal, olumsal bir bağıntı değil, karşıtı ile zorunlu bir bağıntı olmasıdır. Birşeyin olumsuzu ile bu bağıntısı felsefe tarihinde "diyalektik" ile anlatılan şeydir. Hiç kuşkusuz sentez diyalektik ile aynı şey değildir çünkü sentez dışsal bağıntıdır, olması zorunlu değildir. Diyalektik kavramın ve şeylerin özsel karakteridir çünkü kavram belirlidir, ve şey kendine özdeş değil ama kendinde kendi başkasıdır. Leibniz'in Özdeşlik ilkesinde dikkate almadığı yan budur. Eğer A = A olsaydı, eğer birşey yalnızca birşey olsaydı hiçbir bağıntı, giderek özdeşlik bile olmazdı. Öznenin Yüklem ile bağıntısı bile hiçbir zaman özdeşlik değil ama her zaman karşıtlık bağıntısıdır çünkü Özne kendini Özne olarak ancak Yüklem karşısında belirler. Özne Yüklem olmadığı için, kendi karşıtını dışladığı için Öznedir. Ama Yüklem olmaksızın Özneden de söz edemeyiz. Yüklem Öznede kapsanır, ama analitik olarak değil, diyalektik olarak. Mantıksalın anlamı budur ve bu düzeye dek analitik olmak, salt böyle olarak anlaşıldığında, mantık ile hiçbir ilgisi olmayanı anlatır. Atomlar senteze girebilirler. Ama bu girmeyebilirler demektir. Ve sentezin dışında da sentezde oldukları belirlenimi taşırlar. Ama Yüklem Özne olmaksızın, onda kapsanmaksızın, onunla bir olmaksızın Yüklem belirlenimini taşıyamaz, Yüklem olamaz. Ve bu keyfi bir bağıntı, bir olumsallık sorunu değildir.

"Dies ist es, was Platon von dem Erkennen forderte, die Dinge an und für sich selbst zu betrachten, teils in ihrer Allgemeinheit, teils aber nicht von ihnen abzuirren und nach Umständen, Exempeln und Vergleichungen zu greifen, sondern sie allein vor sich zu haben und, was in ihnen immanent ist, zum Bewußtsein zu bringen. — Die Methode des absoluten Erkennens ist insofern analytisch." ... "Sie ist aber ebensosehr synthetisch, indem ihr Gegenstand, unmittelbar als einfaches Allgemeines bestimmt, durch die Bestimmtheit, die er in seiner Unmittelbarkeit und Allgemeinheit selbst hat, als ein Anderes sich zeigt"

Tepe