İdea Yayınevi / Bilimler ve Bilim Felsefesi
site haritası
 

Isaac Newton'da Diyalektik
DOĞAL FELSEFENİN MATEMATİKSEL İLKELERİ'NDEN PARÇA
Çeviren: Aziz Yardımlı

Isaac Newton
Doğal Felsefenin Matematiksel İlkeleri
(1686/1713/1725)

KİTAP BİR
CİSİMLERİN DEVİMLERİ
KESİM I

AŞAĞIDAKİ ÖNERMELERİ TANITLAMAMIZA YARDIM EDEN İLK VE SON NİCELİK ORANLARI YÖNTEMİ

Isaac Newton
Mathematical Principles of Natural Philosophy
(1686/1713/1725)

BOOK ONE
THE MOTION OF BODIES
SECTION I

THE METHOD OF FIRST AND LAST RATIOS OF QUANTITIES, BY THE HELP OF WHICH WE DEMONSTRATE THE PROPOSITIONS THAT FOLLOW

YARDIMCI ÖNERME 11

 

 
Değme açısının yiten alt-uzatması [subtense], değme noktasında sonlu bir eğriliği olan tüm eğrilerde, en sonunda eş-uçlu yayın alt-uzatmasının karesi ile orantılıdır.

DURUM 1. AB söz konusu yay, AD onun teğeti, BD değme açısının teğete dik alt-uzatması, AB yayın alt-uzatması olsun. AB alt-uzatmasına dik olarak BG, ve AD teğetine dik olarak AG çizilsin ve bunlar G’de buluşsunlar; sonra D, B ve G noktaları d, b ve g noktalarına yaklaşsınlar, ve D, B noktaları A ya geldiği zaman J nin BG ve AG çizgilerinin enson kesişme noktaları olduğunu varsayalım. Açıktır ki GJ uzaklığı herhangi bir saptanabilir uzaklıktan daha küçük olabilir. Ama (A, B, G ve A, b, g noktalarından geçen çemberlerin doğasından açıktır ki)

AB2 = AGBD, ve
Ab2 = Agbd.

Ama GJ nin herhangi bir saptanabilir uzunluktan daha az uzun olduğu varsayılabildiği için, AG nin Ag ye oranı birlikten herhangi bir saptanabilir ayrımdan daha az ayrı olacak bir yolda olabilir; ve dolayısıyla AB2 nin Ab2 ye oranı BD nin bd ye oranından herhangi bir saptanabilir ayrımdan daha az ayrılabileceği bir yolda olabilir. Öyleyse, Yar. Ön. 1’e göre, en sonunda,

AB2 : Ab2 = BD : bd.

— Q.E.D.

DURUM 2. Şimdi BD AD ye herhangi bir verili açıda eğik olsun, ve BD nin bd ye en son oranı her zaman daha önce olduğu gibi olacak, ve dolayısıyla AB2 nin Ab2 ye oranı ile aynı olacaktır. — Q.E.D.

DURUM 3. Ve eğer D açısının verili olmadığını, ama BD doğru çizgisinin verili bir noktaya yaklaştığını, ya da ne olursa olsun başka herhangi bir koşul tarafından belirlendiğini varsayarsak, gene de D, d açıları, aynı yasa tarafından belirlenmekle, her zaman eşitliğe doğru yaklaşacak, ve birbirlerine saptanabilir herhangi bir ayrımdan daha çok yaklaşacak, ve dolayısıyla, Yar. Ön. 1’e göre, sonunda eşit olacaklardır; ve dolayısıyla BD, bd çizgileri birbirleri ile daha önce olduğu gibi aynı oran içindedirler. — Q.E.D.

SONURGU 1. Öyleyse AD, Ad teğetleri, AB, Ab yayları, ve bunların BC, bc sinüsleri en sonunda AB, Ab kirişlerine eşit oldukları için, kareleri en sonunda BD, bd alt-uzatmaları ile orantılı olacaktır.

SONURGU 2. Kareleri de en sonunda yayların dönük-sinüsleri ile orantılıdır, kirişleri keser, ve verili bir noktaya yaklaşırlar. Çünkü bu dönük-sinüsler BD, bd alt-uzatmaları ile orantılıdır.

SONURGU 3. Ve dolayısıyla dönük-sinüs bir cismin verili bir hızla bir yayı betimleme zamanının karesi ile orantılıdır.

SONURGU 4. Enson

DADB : DAdb = AD3 : Ad3 = DB3/2 : db3/2

orantısı

DADB : DAdb = ADDB : Addb

orantısından ve enson

AD2 : Ad2 = DB : db

orantısından türetilir. Böylece en sonunda

DABC : DAbc = BC3 : bc3

elde edilir.

SONURGU 5. Ve DB, db en sonunda koşut ve AD, Ad çizgilerinin kareleri ile orantılı oldukları için, enson ADB, Adb eğri-çizgili alanları (parabolun doğasına göre) ADB, Adb doğru-çizgili üçgenlerinin üçte-ikisi olacak, ve AB, Ab dilimleri aynı üçgenlerin üçte-biri olacaktır. Ve bu yüzden bu alanlar ve bu dilimler AD, Ad teğetlerinin, ve ayrıca AB, Ab kirişlerinin ve yaylarının küpleri ile orantılı olacaktır.

LEMMA 11

 

 
The evanescent subtense of the angle of contact, in all curves which at the point of contact have a finite curvature, is ultimately as the square of the subtense of conterminous arc.

CASE 1. Let AB be that arc, AD its tangent, BD the subtense of the angle of contact perpendicular on the tangent, AB the subtense of the arc. Draw BG perpendicular to the subtense AB, and AG perpendicular to the tangent AD, meeting in G; then let the points D, B, and G approach to the points d, b, and g, and suppose J to be the ultimate intersection of the lines BG, AG, when the points D, B have come to A. It is evident that the distance GJ may be less than any assignable distance. But (from the nature of the circles passing through the points A, B, G, and through A, b, g),

AB2 = AGBD, and
Ab2 = Agbd.

But because GJ may be assumed of less length than any assignable, the ratio of AG to Ag may be such as to differ from unity by less than any assignable difference; and therefore the ratio of AB2 to Ab2 may be such as to differ from the ratio of BD to bd by less than any assignable difference. Therefore, by Lem. 1, ultimately,

AB2 : Ab2 = BD : bd.

— Q.E.D.

CASE 2. Now let BD be inclined to AD in any given angle, and the ultimate ratio of BD to bd will always be the same as before, and therefore the same with the ratio of AB2 to Ab2. — Q.E.D.

CASE 3. And if we suppose the angle D not to be given, but that the right line BD converges to a given point, or is determined by any other condition whatever; nevertheless the angles D, d, being determined by the same law, will always draw nearer to equality, and approach nearer to each other than by any assigned difference, and therefore, by Lem. 1, will at last be equal; and therefore the lines BD, bd are in the same ratio to each other as before. — Q.E.D.

COR. I. Therefore since the tangents AD, Ad, the arcs AB, Ab, and their sines, BC, bc, become ultimately equal to the chords AB, Ab, their squares will ultimately become as the subtenses BD, bd.

COR. II. Their squares are also ultimately as the versed sines of the arcs, bisecting the chords, and converging to a given point. For those versed sines are as the subtenses BD, bd.

COR. III. And therefore the versed sine is as the square of the time in which a body will describe the arc with a given velocity.

COR. IV. The ultimate proportion,

DADB : DAdb = AD3 : Ad3 = DB3/2 : db3/2

is derived from

DADB : DAdb = ADDB : Addb

and from the ultimate proportion

AD2 : Ad2 = DB : db

So also is obtained ultimately

DABC : DAbc = BC3: bc3.

COR. V. And because DB, db are ultimately parallel and as the squares of the lines AD, Ad, the ultimate curvilinear areas ADB, Adb will be (by nature of the parabola) two-thirds of the rectilinear triangles ADB, Adb, and the segments, AB, Ab will be one-third of the same triangles. And thence those areas and those segments will be as the cubes of the tangents AD, Ad, and also of the chords and arcs AB, Ab.

NOT

Ama tüm bunlarda değme açısının çemberler ve bunların teğetleri tarafından yapılan değme açılarından ne sonsuz olarak büyük ne de sonsuz olarak küçük olduğunu varsaydık; eş deyişle, A noktasındaki eğriliğin ne sonsuz ölçüde küçük ne de sonsuz ölçüde büyük olduğunu, ve AJ aralığının sonlu bir büyüklükte olduğunu. Çünkü DB AD3 olarak alınabilir: ki bu durumda A noktasından AD teğeti ve AB eğrisi arasında hiçbir çember çizilemez, ve dolayısıyla değme açısı çemberlerinkinden sonsuz ölçüde küçük olacaktır. Ve benzer bir uslamlama ile, eğer DB ardarda AD4, AD5, AD6, AD7 vb. olarak alınırsa, sonsuza dek ilerleyen bir değme açıları dizisi elde ederiz ki, bunda her ardışık terim öncekinden sonsuz ölçüde daha küçüktür. Ve eğer DB ardarda AD2, AD3/2, AD4/3, AD5/4, AD6/5, AD7/6 vb. yapılırsa, değme açılarının bir başka sonsuz dizisini elde ederiz ki, bunlardan birincisi çemberlerinki ile aynı türden, ikincisi sonsuz ölçüde daha büyük, ve her sonraki açı öncekinden sonsuz ölçüde daha büyüktür. Ama bu açılardan herhangi ikisinin arasına doğrudan değme açılarının her iki yolda da sonsuza dek ilerleyen bir başka dizisi yerleştirilebilir, ki bunda her sonraki açı öncekinden sonsuz ölçüde daha büyük ya da sonsuz ölçüde daha küçük olacaktır. Sanki AD2 ve AD3 terimleri arasına AD13/6, AD11/5, AD9/4, AD7/3, AD5/2, AD3/3, AD11/4, AD14/5, AD17/6 vb. dizisi yerleştirilmiş gibi. Ve yine, bu dizinin herhangi iki açısının arasına, birbirlerinden sonsuz aralıklarla ayrılan ara açıların yeni bir dizisi yerleştirilebilir. Doğa hiçbir sınırla sınırlanmış değildir.

SCHOLIUM

But we have all along supposed the angle of contact to be neither infinitely greater nor infinitely less than the angles of contact made by circles and their tangents; that is, that the curvature at the point A is neither infinitely small nor infinitely great, and that the interval AJ is of a finite magnitude. For DB may be taken as AD3: in which case no circle can be drawn through the point A, between the tangent AD and the curve AB, and therefore the angle of contact will be infinitely less than those of circles. And by a like reasoning, if DB be made successfully as AD4, AD5, AD6, AD7, &c., we shall have a series of angles of contact, proceeding in infinitum, wherein every succeeding term is infinitely less that the preceding. And if DB be made successively as AD2, AD3/2, AD4/3, AD5/4, AD6/5, AD7/6, &c., we shall have another infinite series of angles of contact, the first of which is of the same sort with those of circles, the second infinitely greater, and every succeeding one infinitely greater that the preceding. But between any two of these angles another series of intermediate angles of contact may be interposed, proceeding both ways in infinitum, wherein every succeeding angle shall be infinitely greater or infinitely less than the preceding. As if between the terms AD2 and AD3 there were interposed the series AD11/5, AD9/4, AD7/3, AD5/2, AD3/3, AD11/4, AD14/5, AD17/6, &c. And again, between any two angles of this series, a new series of intermediate angles may be interposed, differing from one another by infinite intervals. Nor is Nature confined to any bounds.

Niceliğin Diyalektiği

Eğri çizgilere ve kuşattıkları yüzeylere ilişkin olarak tanıtlanmış olan bu şeyler kolayca katıların eğri yüzey ve içeriklerine uygulanabilir. Bu Yardımcı Önermeler eski geometricilerin yöntemine göre saçmaya indirgeme yoluyla tanıtlamaları gerektiren sıkıntıdan kaçınmak için öncüller olarak alındılar. Çünkü tanıtlamalar bölünemezler yöntemi yoluyla daha kısadır; ama bölünemezler önsavı biraz kaba göründüğü ve dolayısıyla o yöntem daha az geometrik sayıldığı için, onun yerine aşağıdaki Önermelerin tanıtlamalarını doğan ve yiten [evanescentium & nascentium] niceliklerin ilk ve son toplamlarına ve oranlarına, eş deyişle, o toplamların ve oranların sınırlarına indirgemeyi, ve böylece, elimden geldiğince kısa olarak, o sınırların tanıtlamalarını öncül olarak almayı seçtim. Çünkü böylelikle bölünmezler yöntemi yoluyla elde edilen aynı şey yerine getirilmiş olur; ve şimdi o ilkeler tanıtlandığı için, onları daha büyük bir güvenle kullanabiliriz. Dolayısıyla eğer buradan sonra nicelikleri parçacıklardan yapılmış olarak görecek, ya da doğru çizgiler yerine çok küçük eğri çizgiler kullanacak olursam, bölünmezleri değil ama yiten bölünebilir nicelikleri demek istiyor olarak anlaşılmam gerekir; belirli parçaların toplam ve oranlarını değil, ama her zaman toplam ve oranların sınırlarını; ve böyle tanıtlamaların gücünün her zaman önceki Yardımcı Önermelerde ortaya koyulan yöntem üzerine dayandığını.

Those things which have been demonstrated of curved lines, and the surfaces which they comprehend, may be easily applied to the curved surfaces and contents of solids. These Lemmas are premised to avoid the tediousness of deducing involved demonstrations ad absurdum, according to the method of the ancient geometers. For demonstrations are shorter by the method of indivisibles; but because the hypothesis of indivisibles seems somewhat harsh, and therefore that method is reckoned less geometrical, I chose rather to reduce the demonstrations of the following Propositions to the first and last sums and ratios of nascent and evanescent quantities, that is, to the limits of those sums and ratios, and so to premise, as short as I could, the demonstrations of those limits. For hereby the same thing is performed as by the method of indivisibles; and now those principles being demonstrated, we may use them with greater safety. Therefore if hereafter I should happen to consider quantities as made up of particles, or should use little curved lines for right ones, I would not be understood to mean indivisibles, but evanescent divisible quantities; not the sums and ratios of determinate parts, but always the limits of sums and ratios; and that the force of such demonstrations always depends on the method laid down in the foregoing Lemmas.
Sonsuz Küçüklüğün Diyalektiği: Yiten Niceliklerin İlişkisi


Belki de karşı çıkılabilir ki, yiten niceliklerin hiçbir enson oranları yoktur; çünkü oran, nicelikler yitmeden önce, enson değildir, ve yittikleri zaman, hiçtir. Ama aynı uslamlama ile ileri sürülebilir ki, belli bir yere varan ve orada duran bir cismin hiçbir enson hızı yoktur; çünkü hız, cisim yere gelmeden önce, onun enson hızı değildir; vardığı zaman, bir hız yoktur. Ama yanıt kolaydır; çünkü enson hız ile denmek istenen hız cismin yerine varmadan ve devim sona ermeden önceki ya da sonraki değil ama tam vardığı kıpıdaki hızdır; eş deyişle, cismin son yerine varış ve devimin sona eriş hızı. Ve benzer olarak, yiten niceliklerin enson oranı ile anlaşılacak olan şey niceliklerin yitmeden önceki ya da yittikten sonraki oranları değil, ama onunla yittikleri orandır. Benzer olarak doğan niceliklerin ilk oranı var olmaya onunla başladıkları orandır. Ve ilk ya da son toplam onunla var olmaya (ya da arttırılmaya ya da azaltılmaya) başladıkları ve sona erdikleri toplamdır. Devimin sonunda hızın erişebileceği, ama aşamayacağı bir sınır vardır. Bu enson hızdır. Ve var olmaya başlayan ve son veren tüm nicelik ve oranlarda benzer bir sınır vardır. Ve böyle sınırlar belli ve belirli oldukları için, onları belirlemek tam olarak geometrik olan bir sorundur. Ama geometrik olan herşeyi yine geometrik olan başka herhangi bir şeyi belirlemek ve tanıtlamak için kullanabiliriz.
Perhaps it may be objected, that there is no ultimate proportion of evanescent quantities; because the proportion, before the quantities have vanished, is not the ultimate, and when they are vanished, is none. But by the same argument it may be alleged that a body arriving at a certain place, and there stopping, has no ultimate velocity; because the velocity, before the body comes to the place, is not its ultimate velocity; when it has arrived, there is none. But the answer is easy; for by the ultimate velocity is meant that with which the body is moved, neither before it arrives at its last place and the motion ceases, nor after, but at the very instant it arrives; that is, that velocity with which the body arrives at its last place, and with which the motion ceases. And in like manner, by the ultimate ratio of evanescent quantities is to be understood the ratio of the quantities not before they vanish, nor afterwards, but with which they vanish. In like manner the first ratio of nascent quantities is that with which they begin to be. And the first or last sum is that with which they begin and cease to be (or to be augmented or diminished). There is a limit which the velocity at the end of the motion may attain, but not exceed. This is the ultimate velocity. And there is the like limit in all quantities and proportions that begin and cease to be. And since such limits are certain and definite, to determine the same is a problem strictly geometrical. But whatever is geometrical we may use in determining and demonstrating any other thing that is also geometrical.
Karşıtların Birliği Ayrışımlı Kalkülüsün Biricik Olanağıdır


Ayrıca karşı çıkılabilir ki, eğer yiten niceliklerin enson oranları verili ise, enson büyüklükleri de verili olacaktır: ve böylece tüm nicelikler bölünemezlerden oluşacaktır, ki Euklides’in Öğeler’inin onuncu kitabında eşölçümsüzler ile ilgili olarak tanıtlamış olduğuna aykırıdır. Ama bu karşıçıkış yanlış bir sayıltı üzerine dayanır. Çünkü niceliklerin onlarla yittikleri o enson oranlar gerçek anlamda enson niceliklerin oranları değil, ama sınırsızca azalan niceliklerin oranlarının her zaman onlara doğru yakınsaştıkları sınırlardır; ve onlara herhangi bir verili ayrımdan daha çok yaklaşırlar, ama hiçbir zaman ötelerine geçmezler, ne de nicelikler sonsuza dek küçülünceye dek gerçekte onlara erişirler. Bu nokta sonsuz ölçüde büyük niceliklerde daha açık olarak görünecektir. Eğer ayrımları verili olan iki nicelik sonsuza dek arttırılacak olursa, bu niceliklerin enson oranı, yani eşitlik oranı verilecektir; ama bundan onun oranları olduğu en son ya da en büyük niceliklerin kendilerinin verili olacakları sonucu çıkmaz. Öyleyse eğer bundan sonra, daha kolay anlaşılma uğruna, niceliklerden en küçük, ya da yiten, ya da enson olarak söz edecek olursam, denmek istenenin herhangi bir belirli büyüklükleri olan nicelikler değil, ama her zaman hiçbir sona ulaşmaksızın azalıyor olarak düşünülen nicelikler olduğunu anlamanız gerekir.

[Kitap 1. Kesim 1. İlk ve Son Oranlar Yöntemi Sonu]

It may also be objected, that if the ultimate ratios of evanescent quantities are given, their ultimate magnitudes will be also given: and so all quantities will consist of indivisibles, which is contrary to what Euclid has demonstrated concerning incommensurables, in the tenth book of his Elements. But this objection is founded on a false supposition. For those ultimate ratios with which quantities vanish are not truly the ratios of ultimate quantities, but limits towards which the ratios of quantities decreasing without limit do always converge; and to which they approach nearer than by any given difference, but never go beyond, nor in effect attain to, till the quantities are diminished in infinitum. This thing will appear more evident in quantities infinitely great. If two quantities, whose difference is given, be augmented in infinitum, the ultimate ratio of these quantities will be given, namely, the ratio of equality; but it does not from thence follow, that the ultimate or greatest quantities themselves, whose ratio that is, will be given. Therefore if in what follows, for the sake of being more easily understood, I should happen to mention quantities as least, or evanescent, or ultimate, you are not to suppose that quantities of any determinate magnitude are meant, but such as are conceived to be always diminished without end.

[End of Book 1. Section 1. The method of first and last ratios]
Çeviri: Aziz Yardımlı / İdea Yayınevi / 2014