Isaac
Newton
Doğal
Felsefenin Matematiksel İlkeleri
(1686/1713/1725)
KİTAP BİR
CİSİMLERİN
DEVİMLERİ
KESİM I
AŞAĞIDAKİ ÖNERMELERİ TANITLAMAMIZA YARDIM EDEN
İLK VE SON NİCELİK ORANLARI YÖNTEMİ |
|
Isaac
Newton
Mathematical Principles of Natural Philosophy
(1686/1713/1725)
BOOK
ONE
THE MOTION OF BODIES
SECTION
I
THE METHOD OF FIRST AND LAST RATIOS OF QUANTITIES,
BY THE HELP OF WHICH WE DEMONSTRATE THE PROPOSITIONS THAT FOLLOW |
|
YARDIMCI ÖNERME 11
Değme
açısının yiten alt-uzatması [subtense], değme noktasında
sonlu bir eğriliği olan tüm eğrilerde, en sonunda eş-uçlu yayın alt-uzatmasının
karesi ile orantılıdır.
DURUM
1. AB söz konusu yay, AD onun teğeti, BD değme
açısının teğete dik alt-uzatması, AB yayın alt-uzatması olsun. AB alt-uzatmasına dik olarak BG, ve AD teğetine dik
olarak AG çizilsin ve bunlar G’de buluşsunlar; sonra D, B ve G noktaları d, b ve g noktalarına
yaklaşsınlar, ve D, B noktaları A ya geldiği zaman J nin BG ve AG çizgilerinin enson kesişme noktaları
olduğunu varsayalım. Açıktır ki GJ uzaklığı herhangi bir saptanabilir
uzaklıktan daha küçük olabilir. Ama (A, B, G ve A, b, g noktalarından geçen çemberlerin doğasından açıktır
ki)
AB2 = AG • BD, ve
Ab2 = Ag • bd.
Ama GJ nin herhangi bir saptanabilir uzunluktan daha az uzun olduğu
varsayılabildiği için, AG nin Ag ye oranı birlikten herhangi
bir saptanabilir ayrımdan daha az ayrı olacak bir yolda olabilir; ve dolayısıyla AB2 nin Ab2 ye oranı BD nin bd ye oranından herhangi bir saptanabilir ayrımdan daha az ayrılabileceği
bir yolda olabilir. Öyleyse, Yar. Ön. 1’e göre, en sonunda,
AB2 : Ab2 = BD : bd.
— Q.E.D.
DURUM
2. Şimdi BD AD ye herhangi bir verili açıda eğik olsun,
ve BD nin bd ye en son oranı her zaman daha önce olduğu
gibi olacak, ve dolayısıyla AB2 nin Ab2 ye oranı ile aynı olacaktır. — Q.E.D.
DURUM
3. Ve eğer D açısının verili olmadığını, ama BD doğru
çizgisinin verili bir noktaya yaklaştığını, ya da ne olursa olsun başka
herhangi bir koşul tarafından belirlendiğini varsayarsak, gene de D, d açıları, aynı yasa tarafından belirlenmekle, her zaman eşitliğe
doğru yaklaşacak, ve birbirlerine saptanabilir herhangi bir ayrımdan daha
çok yaklaşacak, ve dolayısıyla, Yar. Ön. 1’e göre, sonunda eşit olacaklardır;
ve dolayısıyla BD, bd çizgileri birbirleri ile daha önce
olduğu gibi aynı oran içindedirler. — Q.E.D.
SONURGU
1. Öyleyse AD, Ad teğetleri, AB, Ab yayları,
ve bunların BC, bc sinüsleri en sonunda AB, Ab kirişlerine eşit oldukları için, kareleri en sonunda BD, bd alt-uzatmaları ile orantılı olacaktır.
SONURGU
2. Kareleri de en sonunda yayların dönük-sinüsleri ile orantılıdır, kirişleri
keser, ve verili bir noktaya yaklaşırlar. Çünkü bu dönük-sinüsler BD, bd alt-uzatmaları ile orantılıdır.
SONURGU
3. Ve dolayısıyla dönük-sinüs bir cismin verili bir hızla bir yayı betimleme
zamanının karesi ile orantılıdır.
SONURGU
4. Enson
DADB : DAdb = AD3 : Ad3 = DB3/2 : db3/2
orantısı
DADB : DAdb = AD • DB : Ad • db
orantısından
ve enson
AD2 : Ad2 = DB : db
orantısından
türetilir. Böylece en sonunda
DABC : DAbc = BC3 : bc3
elde
edilir.
SONURGU
5. Ve DB, db en sonunda koşut ve AD, Ad çizgilerinin
kareleri ile orantılı oldukları için, enson ADB, Adb eğri-çizgili
alanları (parabolun doğasına göre) ADB, Adb doğru-çizgili
üçgenlerinin üçte-ikisi olacak, ve AB, Ab dilimleri aynı
üçgenlerin üçte-biri olacaktır. Ve bu yüzden bu alanlar ve bu dilimler AD, Ad teğetlerinin, ve ayrıca AB, Ab kirişlerinin
ve yaylarının küpleri ile orantılı olacaktır. |
LEMMA 11
The
evanescent subtense of the angle of contact, in all curves which at the
point of contact have a finite curvature, is ultimately as the square
of the subtense of conterminous arc. CASE 1. Let AB be that arc, AD its tangent, BD the subtense of
the angle of contact perpendicular on the tangent, AB the subtense
of the arc. Draw BG perpendicular to the subtense AB, and AG perpendicular to the tangent AD, meeting in G;
then let the points D, B, and G approach to the points d, b, and g, and suppose J to be the ultimate
intersection of the lines BG, AG, when the points D, B have come to A. It is evident that the distance GJ may be less than any assignable distance. But (from the nature of the
circles passing through the points A, B, G, and through A, b, g),
AB2 = AG • BD, and
Ab2 = Ag • bd.
But because GJ may be assumed of less length than any assignable,
the ratio of AG to Ag may be such as to differ from
unity by less than any assignable difference; and therefore the ratio
of AB2 to Ab2 may be such as to
differ from the ratio of BD to bd by less than any assignable
difference. Therefore, by Lem. 1, ultimately,
AB2 : Ab2 = BD : bd.
— Q.E.D.
CASE 2. Now
let BD be inclined to AD in any given angle, and the ultimate
ratio of BD to bd will always be the same as before, and
therefore the same with the ratio of AB2 to Ab2.
— Q.E.D.
CASE
3. And if we suppose the angle D not to be given, but that
the right line BD converges to a given point, or is determined
by any other condition whatever; nevertheless the angles D, d,
being determined by the same law, will always draw nearer to equality,
and approach nearer to each other than by any assigned difference, and
therefore, by Lem. 1, will at last be equal; and therefore the lines BD, bd are in the same ratio to each other as before. — Q.E.D.
COR.
I. Therefore since the tangents AD, Ad, the arcs AB, Ab, and their sines, BC, bc, become ultimately equal
to the chords AB, Ab, their squares will ultimately become
as the subtenses BD, bd.
COR.
II. Their squares are also ultimately as the versed sines of the arcs,
bisecting the chords, and converging to a given point. For those versed
sines are as the subtenses BD, bd.
COR.
III. And therefore the versed sine is as the square of the time in which
a body will describe the arc with a given velocity.
COR.
IV. The ultimate proportion,
DADB : DAdb = AD3 : Ad3 = DB3/2 : db3/2
is
derived from
DADB : DAdb = AD • DB : Ad • db
and
from the ultimate proportion
AD2 : Ad2 = DB : db
So
also is obtained ultimately
DABC : DAbc = BC3: bc3.
COR.
V. And because DB, db are ultimately parallel and as the
squares of the lines AD, Ad, the ultimate curvilinear
areas ADB, Adb will be (by nature of the parabola) two-thirds
of the rectilinear triangles ADB, Adb, and the segments, AB, Ab will be one-third of the same triangles. And thence
those areas and those segments will be as the cubes of the tangents AD, Ad, and also of the chords and arcs AB, Ab. |
NOT
Ama
tüm bunlarda değme açısının çemberler ve bunların teğetleri tarafından
yapılan değme açılarından ne sonsuz olarak büyük ne de sonsuz olarak
küçük olduğunu varsaydık; eş deyişle, A noktasındaki eğriliğin
ne sonsuz ölçüde küçük ne de sonsuz ölçüde büyük olduğunu, ve AJ aralığının sonlu bir büyüklükte olduğunu. Çünkü DB AD3 olarak alınabilir: ki bu durumda A noktasından AD teğeti ve AB eğrisi arasında
hiçbir çember çizilemez, ve dolayısıyla değme açısı çemberlerinkinden
sonsuz ölçüde küçük olacaktır. Ve benzer bir uslamlama ile, eğer DB ardarda AD4, AD5, AD6, AD7 vb. olarak alınırsa, sonsuza dek ilerleyen
bir değme açıları dizisi elde ederiz ki, bunda her ardışık terim öncekinden
sonsuz ölçüde daha küçüktür. Ve eğer DB ardarda AD2, AD3/2, AD4/3, AD5/4, AD6/5, AD7/6 vb. yapılırsa, değme
açılarının bir başka sonsuz dizisini elde ederiz ki, bunlardan birincisi
çemberlerinki ile aynı türden, ikincisi sonsuz ölçüde daha büyük,
ve her sonraki açı öncekinden sonsuz ölçüde daha büyüktür. Ama bu
açılardan herhangi ikisinin arasına doğrudan değme açılarının her
iki yolda da sonsuza dek ilerleyen bir başka dizisi yerleştirilebilir,
ki bunda her sonraki açı öncekinden sonsuz ölçüde daha büyük ya da
sonsuz ölçüde daha küçük olacaktır. Sanki AD2 ve AD3 terimleri arasına AD13/6, AD11/5, AD9/4, AD7/3, AD5/2, AD3/3, AD11/4, AD14/5, AD17/6 vb. dizisi yerleştirilmiş
gibi. Ve yine, bu dizinin herhangi iki açısının arasına, birbirlerinden
sonsuz aralıklarla ayrılan ara açıların yeni bir dizisi yerleştirilebilir.
Doğa hiçbir sınırla sınırlanmış değildir. |
SCHOLIUM
But we have all along supposed the angle of contact to be neither
infinitely greater nor infinitely less than the angles of contact
made by circles and their tangents; that is, that the curvature at
the point A is neither infinitely small nor infinitely great,
and that the interval AJ is of a finite magnitude. For DB may be taken as AD3: in which case no circle
can be drawn through the point A, between the tangent AD and the curve AB, and therefore the angle of contact will be
infinitely less than those of circles. And by a like reasoning, if DB be made successfully as AD4, AD5, AD6, AD7, &c., we shall have a
series of angles of contact, proceeding in infinitum, wherein
every succeeding term is infinitely less that the preceding. And if DB be made successively as AD2, AD3/2, AD4/3, AD5/4, AD6/5, AD7/6, &c., we shall have another infinite series
of angles of contact, the first of which is of the same sort with
those of circles, the second infinitely greater, and every succeeding
one infinitely greater that the preceding. But between any two of
these angles another series of intermediate angles of contact may
be interposed, proceeding both ways in infinitum, wherein every
succeeding angle shall be infinitely greater or infinitely less than
the preceding. As if between the terms AD2 and AD3 there were interposed the series AD11/5, AD9/4, AD7/3, AD5/2, AD3/3, AD11/4, AD14/5, AD17/6,
&c. And again, between any two angles of this series, a new series
of intermediate angles may be interposed, differing from one another
by infinite intervals. Nor is Nature confined to any bounds. |
Eğri çizgilere ve kuşattıkları yüzeylere ilişkin olarak tanıtlanmış
olan bu şeyler kolayca katıların eğri yüzey ve içeriklerine uygulanabilir. Bu Yardımcı Önermeler
eski geometricilerin yöntemine göre saçmaya indirgeme yoluyla tanıtlamaları gerektiren sıkıntıdan kaçınmak için öncüller olarak
alındılar. Çünkü tanıtlamalar bölünemezler yöntemi yoluyla daha kısadır;
ama bölünemezler önsavı biraz kaba göründüğü ve dolayısıyla o yöntem
daha az geometrik sayıldığı için, onun yerine aşağıdaki Önermelerin
tanıtlamalarını doğan ve yiten [evanescentium
& nascentium] niceliklerin ilk ve son toplamlarına ve oranlarına,
eş deyişle, o toplamların ve oranların sınırlarına indirgemeyi, ve
böylece, elimden geldiğince kısa olarak, o sınırların tanıtlamalarını
öncül olarak almayı seçtim. Çünkü böylelikle bölünmezler yöntemi yoluyla
elde edilen aynı şey yerine getirilmiş olur; ve şimdi o ilkeler tanıtlandığı
için, onları daha büyük bir güvenle kullanabiliriz. Dolayısıyla eğer buradan sonra nicelikleri parçacıklardan yapılmış
olarak görecek, ya da doğru çizgiler yerine çok küçük eğri çizgiler
kullanacak olursam, bölünmezleri değil ama yiten
bölünebilir nicelikleri demek istiyor olarak anlaşılmam
gerekir; belirli parçaların toplam ve oranlarını değil, ama her zaman
toplam ve oranların sınırlarını; ve böyle tanıtlamaların gücünün her
zaman önceki Yardımcı Önermelerde ortaya koyulan yöntem üzerine dayandığını. |
Those things
which have been demonstrated of curved lines, and the surfaces which
they comprehend, may be easily applied to the curved surfaces and
contents of solids. These Lemmas are premised to avoid the tediousness of deducing involved
demonstrations ad absurdum, according to the method of the
ancient geometers. For demonstrations are shorter by the method
of indivisibles; but because the hypothesis of indivisibles seems
somewhat harsh, and therefore that method is reckoned less geometrical,
I chose rather to reduce the demonstrations of the following Propositions
to the first and last sums and ratios of nascent and evanescent
quantities, that is, to the limits of those sums and ratios, and
so to premise, as short as I could, the demonstrations of those
limits. For hereby the same thing is performed as by the method
of indivisibles; and now those principles being demonstrated, we
may use them with greater safety. Therefore if hereafter I should
happen to consider quantities as made up of particles, or should
use little curved lines for right ones, I would not be understood
to mean indivisibles, but evanescent divisible quantities; not the
sums and ratios of determinate parts, but always the limits of sums
and ratios; and that the force of such demonstrations always depends
on the method laid down in the foregoing Lemmas. |
Sonsuz
Küçüklüğün Diyalektiği: Yiten Niceliklerin İlişkisi |
Belki
de karşı çıkılabilir ki, yiten niceliklerin hiçbir enson oranları yoktur; çünkü oran, nicelikler yitmeden önce,
enson değildir, ve yittikleri zaman, hiçtir. Ama aynı uslamlama ile
ileri sürülebilir ki, belli bir yere varan ve orada duran bir cismin
hiçbir enson hızı yoktur; çünkü hız, cisim yere gelmeden önce, onun
enson hızı değildir; vardığı zaman, bir hız yoktur. Ama yanıt kolaydır;
çünkü enson hız ile denmek istenen hız cismin yerine varmadan ve devim
sona ermeden önceki ya da sonraki değil ama tam vardığı kıpıdaki hızdır;
eş deyişle, cismin son yerine varış ve devimin sona eriş hızı. Ve
benzer olarak, yiten niceliklerin enson oranı ile anlaşılacak olan
şey niceliklerin yitmeden önceki ya da yittikten sonraki oranları
değil, ama onunla yittikleri orandır. Benzer olarak doğan niceliklerin
ilk oranı var olmaya onunla başladıkları orandır. Ve ilk ya da son
toplam onunla var olmaya (ya da arttırılmaya ya da azaltılmaya) başladıkları
ve sona erdikleri toplamdır. Devimin sonunda hızın erişebileceği,
ama aşamayacağı bir sınır vardır. Bu enson hızdır. Ve var olmaya başlayan
ve son veren tüm nicelik ve oranlarda benzer bir sınır vardır. Ve
böyle sınırlar belli ve belirli oldukları için, onları belirlemek
tam olarak geometrik olan bir sorundur. Ama geometrik olan herşeyi
yine geometrik olan başka herhangi bir şeyi belirlemek ve tanıtlamak için kullanabiliriz. |
Perhaps it
may be objected, that there is no ultimate proportion of evanescent
quantities; because the proportion, before the quantities have vanished,
is not the ultimate, and when they are vanished, is none. But by
the same argument it may be alleged that a body arriving at a certain
place, and there stopping, has no ultimate velocity; because the
velocity, before the body comes to the place, is not its ultimate
velocity; when it has arrived, there is none. But the answer is
easy; for by the ultimate velocity is meant that with which the
body is moved, neither before it arrives at its last place and the
motion ceases, nor after, but at the very instant it arrives; that
is, that velocity with which the body arrives at its last place,
and with which the motion ceases. And in like manner, by the ultimate
ratio of evanescent quantities is to be understood the ratio of
the quantities not before they vanish, nor afterwards, but with
which they vanish. In like manner the first ratio of nascent quantities
is that with which they begin to be. And the first or last sum is
that with which they begin and cease to be (or to be augmented or
diminished). There is a limit which the velocity at the end of the
motion may attain, but not exceed. This is the ultimate velocity.
And there is the like limit in all quantities and proportions that
begin and cease to be. And since such limits are certain and definite,
to determine the same is a problem strictly geometrical. But whatever
is geometrical we may use in determining and demonstrating any other
thing that is also geometrical. |
Karşıtların
Birliği Ayrışımlı Kalkülüsün Biricik Olanağıdır |
Ayrıca karşı çıkılabilir ki, eğer yiten niceliklerin enson oranları
verili ise, enson büyüklükleri de verili olacaktır: ve böylece tüm
nicelikler bölünemezlerden oluşacaktır, ki Euklides’in Öğeler’inin
onuncu kitabında eşölçümsüzler ile ilgili olarak tanıtlamış olduğuna
aykırıdır. Ama bu karşıçıkış yanlış bir sayıltı üzerine dayanır. Çünkü
niceliklerin onlarla yittikleri o enson oranlar gerçek anlamda enson
niceliklerin oranları değil, ama sınırsızca azalan niceliklerin oranlarının
her zaman onlara doğru yakınsaştıkları sınırlardır; ve onlara herhangi
bir verili ayrımdan daha çok yaklaşırlar, ama hiçbir zaman ötelerine
geçmezler, ne de nicelikler sonsuza dek küçülünceye dek gerçekte
onlara erişirler. Bu nokta sonsuz ölçüde büyük niceliklerde daha açık
olarak görünecektir. Eğer ayrımları verili olan iki nicelik sonsuza
dek arttırılacak olursa, bu niceliklerin enson oranı, yani eşitlik
oranı verilecektir; ama bundan onun oranları olduğu en son ya da en
büyük niceliklerin kendilerinin verili olacakları sonucu çıkmaz. Öyleyse
eğer bundan sonra, daha kolay anlaşılma uğruna, niceliklerden en küçük,
ya da yiten, ya da enson olarak söz edecek olursam, denmek istenenin
herhangi bir belirli büyüklükleri olan nicelikler değil, ama her
zaman hiçbir sona ulaşmaksızın azalıyor olarak düşünülen nicelikler olduğunu anlamanız gerekir.
[Kitap 1. Kesim 1. İlk ve Son Oranlar Yöntemi Sonu] |
It may also
be objected, that if the ultimate ratios of evanescent quantities
are given, their ultimate magnitudes will be also given: and so
all quantities will consist of indivisibles, which is contrary to
what Euclid has demonstrated concerning incommensurables, in the
tenth book of his Elements. But this objection is founded
on a false supposition. For those ultimate ratios with which quantities
vanish are not truly the ratios of ultimate quantities, but limits
towards which the ratios of quantities decreasing without limit
do always converge; and to which they approach nearer than by any
given difference, but never go beyond, nor in effect attain to,
till the quantities are diminished in infinitum. This thing
will appear more evident in quantities infinitely great. If two
quantities, whose difference is given, be augmented in infinitum,
the ultimate ratio of these quantities will be given, namely, the
ratio of equality; but it does not from thence follow, that the
ultimate or greatest quantities themselves, whose ratio that is,
will be given. Therefore if in what follows, for the sake of being
more easily understood, I should happen to mention quantities as
least, or evanescent, or ultimate, you are not to suppose that quantities
of any determinate magnitude are meant, but such as are conceived
to be always diminished without end.
[End
of Book 1. Section 1. The method of first and last ratios] |
|